Algebra lineare: differenze tra le versioni

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La nozione più importante in algebra lineare è quella di [[spazio vettoriale]]. Uno spazio vettoriale è un insieme <math>V</math> di elementi, detti ''vettori'', aventi delle proprietà che li rendono simili ai vettori applicati in un punto fissato (l'''origine'') del piano o dello spazio.

Più precisamente, sono definite su <math>V</math> un paio di [[operazione binaria|operazioni binarie]]:<ref>{{Cita libro|nome=Gatto,|cognome=Letterio.|titolo=Lezioni di algebra lineare e geometria per l'ingegneria : i veri appunti del corso|url=http://worldcat.org/oclc/956082822|accesso=2019-03-19|data=2013|editore=CLUT|OCLC=956082822|ISBN=9788879923439}}</ref>

* due vettori <math>v</math> e <math>w</math> possono essere ''sommati'', dando così luogo ad un nuovo vettore <math>v+w</math>,

* undue vettorevettori <math>v</math> può essere ''riscalato'', cioè moltiplicato per un numeroe <math>kw</math> possono essere sommati, dando così luogo ad un nuovo vettore <math>kvv+w</math>. Le proprietà della somma vettoriale sono ''[[associatività]], [[commutatività]], esistenza del'[[Elemento neutro|elemento neutro]], esistenza dell'[[Elemento inverso|elemento inverso]]'';

* un vettore <math>v</math> può essere riscalato, cioè moltiplicato per un numero <math>k</math>, dando così luogo ad un nuovo vettore <math>kv</math>. le proprietà della moltiplicazione per scalare sono ''associatività, esistenza di un neutro;''

*la somma vettoriale è ''[[Distributività|distributiva]] rispetto al prodotto'', mentre il prodotto è ''distributivo rispetto alla somma.''

[[File:Vector addition3.svg|thumb|left|Due vettori <math>v</math> e <math>w</math> possono essere sommati usando la [[regola del parallelogramma]].]]

Il numero <math>k</math> (detto ''scalare'') appartiene ad un [[campo (matematica)|campo]] che viene fissato fin dall'inizio: questo può essere ad esempio il campo <math>\R</math> dei [[numeri reali]] o il campo <math>\mathbb C</math> dei [[numeri complessi]].

Le due operazioni devono soddisfare una lunga lista di [[assioma (matematica)|assiomi]]. Ad esempio, la somma fra vettori deve essere [[proprietà associativa|associativa]] e [[proprietà commutativa|commutativa]]. Deve inoltre esistere un [[elemento neutro]] per la somma, ovvero un particolare vettore, chiamato ''origine'', ''vettore nullo'', O oppure 0, tale che <math>0+v = v</math> per ogni vettore <math>v</math>.

Il [[piano cartesiano]] è l'esempio fondamentale di spazio vettoriale. Ogni punto del piano è in realtà identificato univocamente come una coppia <math>(x,y)</math> di numeri reali. L'origine è il punto <math>(0,0)</math>. Il punto <math>(x,y)</math> può essere interpretato alternativamente come punto del piano o come vettore applicato nell'origine che parte da <math>(0,0)</math> e arriva in <math>(x,y)</math>.