Modello probit: differenze tra le versioni

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[[File:Logistic-sigmoid-vs-scaled-probit.svg|thumb|In rosso tratteggiato è rappresentato il modello probit.]]

In [[statistica]] e in [[econometria]], il '''modello probit''' è un modello di [[regressione nonlineare]] utilizzato quando la [[variabile dipendente]] è di tipo [[Variabile dicotomica|dicotomico]]. L'obiettivo del modello è di stabilire la probabilità con cui un'osservazione può generare uno o l'altro valore della variabile dipendente; può inoltre essere utilizzato per classificare le osservazioni, in base alla caratteristiche di queste, in due categorie.<ref name="Definizione">{{Cita libro|titolo=Introduction to Econometrics|autore1=James H. Stock|autore2=Mark W. Watson|editore=Pearson|anno=2015|edizione=3|lingua=inglese|ISBN=978-1-292-07131-2|capitolo=Regression with a Binary Dependent Variable|pp=437-439}}</ref><br />

Il modello è stato proposto per la prima volta da [[Chester Ittner Bliss]] nel [[1934]],<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=THE METHOD OF PROBITS|autore=Chester I. Bliss|wkautore=Chester Ittner Bliss|rivista=Science|data=12 gennaio 1934|volume=79|pp=38-39|doi=10.1126/science.79.2037.38|PMID=17813446|accesso=20 novembre 2018}}</ref> ampliato l'anno successivo da [[Ronald Fisher]] che introdusse un metodo iterativo per la stima dei parametri tramite il [[metodo della massima verosimiglianza]].

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::<math>\mathbb{E} \left[ Y \mid X=x \right ] = 1 \ Pr \left ( Y=1 \mid X=x \right )+0 \ Pr \left ( Y=0 \mid X=x \right ) = \ Pr \left ( Y=1 \mid X=x \right )</math>

Data questa limitazione dei valori di <math>Y</math>, la funzione da adottare per la regressione deve essere nonlineare con codominio <math>C= \left [ 0,1 \right ]</math>, una caratteristica che possiedono le [[Funzione di ripartizione|funzioni di ripartizione]].<ref name="Definizione" /> La necessità di non linearità deriva dal fatto che la funzione, per poter rimanere all'interno del codominio dato, deve avere [[derivata]] prima non costante, quindi dipendente dai regressori. Se così non fosse, la funzione sarebbe una retta e il suo codominio diventerebbe <math>\mathbb{R}</math>. Si supponga infatti il seguente modello lineare:

::<math>\ Pr \left ( Y=1 \mid X=x \right ) = \beta_0 + \beta_1 X</math><br>

dove la derivata

::<math>\frac{\partial}{\partial X} \ Pr \left ( Y=1 \mid X=x \right ) = \beta_1</math>

è costante e uguale al parametro <math>\beta_1</math>. In base al segno di questo parametro, la funzione sarà crescente, se positivo, o decrescente se negativo, ma non è possibile avere come codominio <math>C</math> perché questo richiederebbe una derivata dipendente dal valore di <math>X</math>. Se si considera invece il seguente modello:

::<math>\ Pr \left ( Y=1 \mid X=x \right ) = \ F \left ( \alpha_0 + \alpha_1 X \right )</math><br>

dove la derivata

::<math>\frac{\partial}{\partial X} \ Pr \left ( Y=1 \mid X=x \right ) = \ f \left ( \alpha_0 + \alpha_1 X \right )\alpha_1</math>

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