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=== La massa elettromagnetica dell'elettrone (1881-1906) ===

Nei primi anni del XX secolo molti fisici aderirono ad una ''teoria elettromagnetica della natura'', che riteneva le leggi dell'elettromagnetismo di [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] più fondamentali di quelle meccaniche di [[Isaac Newton|Newton]].<ref>{{cita libro | nome= C. | cognome= Tarsitani | titolo= Il dilemma onda-corpuscolo da Maxwell a Planck e Einstein | anno= 1983 | editore= Loescher | città= Torino |pp=173-178}}</ref> In questo contesto vennero svolte ricerche per attribuire ad effetti elettromagnetici (e.m.) l'origine della [[massa (fisica)|massa]] della [[materia (fisica)|materia]].

Oggetti [[carica elettrica|carichi]] possiedono una [[inerzia]] maggiore rispetto agli stessi corpi scarichi. Ciò si spiega con una interazione delle cariche elettriche in moto con il campo da esse stesse generato, detta ''reazione di campo''; l'effetto è interpretabile come un aumento della massa inerziale del [[corpo (fisica)|corpo]] ed è ricavabile dalle [[equazioni di Maxwell]].

Nel 1881 [[Joseph John Thomson]], che nel 1896 scoprirà l'[[elettrone]], fece un primo tentativo di calcolare il contributo elettromagneticoe.m. alla [[massa (fisica)|massa]].<ref name=thomson>{{Cita pubblicazione|autore=J. J. Thomson |anno=1881 |titolo=On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies |rivista=Philosophical Magazine |volume=11 |serie=5 |numero=68 |pp=229–249|lingua= en |doi=10.1080/14786448108627008|title-link=s:On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies}}</ref> Una sfera carica in moto nello spazio (che si riteneva riempito dall'[[etere luminifero]], con una sua [[induttanza]] <math>L</math>) risulta più difficile da mettere in moto rispetto a un corpo privo di carica (caso analogo all'inerzia dei corpi nei [[fluidi]],<ref>{{Cita pubblicazione|autore= G. G. Stokes |anno=1844 |rivista=Transactions of the Cambridge Philosophical Society |volume=8|numero=1 |titolo= On some cases of fluid motion |pp=105–137 |lingua= en}}</ref> studiata da [[George Gabriel Stokes]] nel 1843). A causa dell'auto-induzione, l'energia elettrostatica sembra mostrare una sua [[quantità di moto]] e una ''massa elettromagnetica'' <math>m_{\rm em}</math> che fa aumentare la [[massa a riposo]] <math>m_0</math> dei corpi carichi in movimento. Thomson calcolò il campo magnetico generato da una sfera elettricamente carica in movimento, mostrando che tale campo induce un'inerzia ([[massa (fisica)|massa]]) sulla sfera stessa. Il risultato di Thomson dipende dal raggio, dalla carica e dalla [[permeabilità magnetica]] della sfera. Nel 1889 [[Oliver Heaviside]] generalizzò il risultato di Thomson,<ref>{{Cita pubblicazione|autore= O.Heaviside |anno=1889 |titolo=On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric |rivista=Philosophical Magazine |serie=5 |volume=27 |numero=167 |pp=324–339 |lingua=en |doi=10.1080/14786448908628362|}}</ref> mostrando che la massa elettromagneticae.m. risulta essere

::<math>m_{\rm em} = \frac{4}{3} \, \frac{E_{\rm em}}{c^2}</math>,

dove <math>E_{\rm em}</math> è l'energia del campo elettrico della sfera. Chiaramente questo risultato si applica solo ad oggetti carichi e in movimento, quindi non ad ogni corpo dotato di massa. Fu tuttavia il primo serio tentativo di connettere massa ed energia.<ref name=rothman_1>{{cita web|url=https://www.scientificamerican.com/article/was-einstein-the-first-to-invent-e-mc2/?redirect=1 |titolo= Was Einstein the First to Invent E = mc^2?|lingua= en| accesso=5 giugno 2019}}</ref><ref name=rothman_2>{{cita pubblicazione|cognome= Rothman |nome= T. |titolo= Did Einstein Really Invent E = mc^2? |lingua= en|rivista= Scientific American |volume= 313 |numero= 3 |anno= Settembre 2015}}</ref> Ulteriori lavori, che contribuirono a definire la ''massa elettromagnetica dell'elettrone'' (classicamente visto come una piccola sfera carica elettricamente), vennero da [[Joseph John Thomson]] (1893), [[George Frederick Charles Searle]] (1864 - 1954), fisico inglese, (1897),

[[Walter Kaufmann]] (1901), [[Max Abraham]] (1902, 1904 e 1905) ed [[Hendrik Lorentz]] (1892,<ref>{{Cita pubblicazione|autore= H. A. Lorentz |anno=1892 |titolo= La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants [La teoria elettromagnetica di Maxwell e la sua applicazione ai corpi in movimento]|rivista=Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles |volume=25 |pp=363–552 |lingua= fr}}</ref> 1899 e 1904).

Nel 1893 [[Joseph John Thomson]] notò che il momento elettromagnetico, l'energia e quindi la massa dei corpi carichi dipendono dalla loro velocità, e che la velocità della luce costituisce una velocità limite: ''«una sfera carica che si muove alla velocità della luce si comporta come se la sua massa fosse infinita [...] in altre parole è impossibile aumentare la velocità di un corpo carico che si muove in un dielettrico oltre quella della luce.»''<ref>{{Cita pubblicazione|autore=J. J. Thomson |anno=1893 |titolo=Notes on recent researches in electricity and magnetism |editore=Clarendon Press |città=Oxford |pp=21|lingua= en}}</ref> Nel 1897 il fisico inglese [[George Frederick Charles Searle]] (1864 - 1954) fornì una formula per l'energia elettromagneticae.m. di una sfera carica in movimento,<ref>{{Cita pubblicazione|autore= G. F. C. Searle |anno=1897 |titolo=On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid |rivista=Philosophical Magazine |serie=5 |volume=44 |numero=269 |pp=329–341 |doi=10.1080/14786449708621072|title-link=s:On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid |lingua= en}}</ref> confermando le conclusioni di Thomson. [[Walter Kaufmann]]<ref>{{Cita pubblicazione|autore= W. Kaufmann |anno=1902 |titolo=Die elektromagnetische Masse des Elektrons [La massa elettromagnetica degli elettroni] |rivista=Physikalische Zeitschrift |volume=4 |numero=1b|pp=54–56|lingua= de}}</ref> nel 1901 e [[Max Abraham]]<ref name=abraham>{{Cita pubblicazione|autore=M. Abraham |anno=1903 |titolo=Prinzipien der Dynamik des Elektrons [Principi della dinamica degli elettroni]|rivista=Annalen der Physik |volume=315|numero=1 |pp=105–179|title-link=s:de:Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903) |doi=10.1002/andp.19013100703|lingua= de}}</ref> nel 1902 calcolarono la massa elettromagneticae.m. di corpi carichi in movimento. Abraham si accorse però che tale risultato era valido solo nella direzione di moto longitudinale rispetto all'[[etere luminifero|etere]] e definì quindi anche una massa elettromagneticae.m. ''trasversale'' <math>m_T</math> oltre a quella ''longitudinale'' <math>m_L</math>. [[Hendrik Lorentz]], nel 1899 <ref>{{Cita pubblicazione|autore= H. A. Lorentz |anno=1899 |titolo=Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems |rivista=Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences |volume=1|pp=427–442|title-link=s:Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems |lingua= en}}</ref> e nel 1904,<ref name=elet_lorentz>{{Cita pubblicazione|autore=H. A. Lorentz|anno=1904 |titolo=Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light |rivista=Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences |volume=6|pp=809–831|title-link=s:Electromagnetic phenomena |lingua= en}}</ref> produsse due articoli sulla ''teoria dell'elettrone di Lorentz'', che prevedeva una [[contrazione delle lunghezze]] nella direzione del moto. La massa longitudinale e quella trasversale dipendevano (Lorentz 1904 <ref name=elet_lorentz/>) dalla velocità in due modi diversi:

::<math> m_L = {\gamma}^3 \, m_{\rm em}, \quad m_T = \gamma \, m_{\rm em} </math>

dove <math>\gamma</math> è il fattore di Lorentz

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Nell'ambito della ''teoria elettromagnetica della natura'', [[Wilhelm Wien]]<ref name=wien>{{Cita pubblicazione|autore= W. Wien |anno=1900 |titolo=Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik [Sulla possibilità di una fondazione elettromagnetica della meccanica] |rivista=Annalen der Physik |volume=310 |numero=7 |pp=501–513 |doi=10.1002/andp.19013100703|title-link=s:de:Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik |lingua= de}}</ref> (noto per i suoi lavori del 1896 sullo [[spettro elettromagnetico|spettro]] del [[corpo nero]]) nel 1900 e [[Max Abraham]]<ref name=abraham/> nel 1902 giunsero indipendentemente alla conclusione che l<nowiki>'</nowiki>''intera massa'' <math>m</math> dei corpi è dovuta ad effetti elettromagnetici, e coincide quindi con la ''massa elettromagnetica'' <math>m_{\rm em}</math>. Nel 1906 [[Henri Poincaré]] sostenne<ref name=poinc>{{Cita pubblicazione|autore= H. Poincaré |anno=1906 |titolo=La fin de la matière [La fine della materia]|rivista=Athenæum |lingua= fr}}</ref> che la massa è un effetto del campo elettrico che agisce nell'[[etere luminifero]], implicando che non esiste realmente alcuna massa. Quindi, siccome la [[materia (fisica)|materia]] è inseparabilmente connessa alla sua [[massa (fisica)|massa,]] secondo Poincaré anche la [[materia (fisica)|materia]] non esiste: gli elettroni sarebbero solamente ''concavità nell'etere''.

Tuttavia ben presto si dovette rinunciare all'idea di una massa puramente elettromagneticae.m. dell'elettrone. Nel 1904 [[Max Abraham]] sostenne che era necessaria anche un'energia non elettromagnetica-e.m. (in misura pari ad <math>(1/3) E_{\rm em}</math>) per evitare che l'elettrone contrattile di Lorentz esplodesse<ref>{{Cita pubblicazione|autore=M. Abraham |anno=1904 |titolo=Die Grundhypothesen der Elektronentheorie [Le ipotesi fondamentali della teoria degli elettroni] |rivista=Physikalische Zeitschrift |volume=5 |pp=576–579|title-link=s:de:Die Grundhypothesen der Elektronentheorie |lingua= de}}</ref>. L'anno dopo - contraddicendo le sue tesi del 1902 - dubitò della possibilità di sviluppare un modello consistente dell'elettrone su basi esclusivamente elettromagnetiche.<ref>{{Cita libro|cognome= M. Abraham |anno=1905 |titolo= Theorie der Elektrizität: Elektromagnetische Theorie der Strahlung [Teoria dell'elettricità: teoria elettromagnetica della radiazione] |editore=Teubner |città=Leipzig |pp=201–208|url=https://archive.org/details/theoriederelekt04fpgoog|lingua= de}}</ref>

Per risolvere i problemi della teoria dell'elettrone di Lorentz, nel 1905 <ref>{{Cita pubblicazione|autore=H. Poincaré |anno=1905 |titolo=Sur la dynamique de l'électron [Sulla dinamica dell'elettrone]|On the Dynamics of the Electron]] |rivista=Comptes Rendus |volume=140 |pp=1504–1508 |title-link=s:fr:Sur la dynamique de l'électron (juin) |lingua=fr}}}</ref> e nel 1906 <ref>{{Cita pubblicazione|autore= H. Poincaré |anno=1906 |titolo= Sur la dynamique de l'électron [Sulla dinamica dell'elettrone] |title-link=s:fr:Sur la dynamique de l'électron (juillet)|rivista=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo |volume=21 |pp=129–176 |doi=10.1007/BF03013466|lingua=fr}}</ref> [[Henri Poincaré]] introdusse un termine correttivo ("Poincaré stresses") di natura non elettromagnetica-e.m.. Come già sostenuto da Abraham, il contributo non elettromagnetico-e.m. secondo Poincaré risulta pari a

::<math>E_{\rm po} = \frac{1}{3} \, E_{\rm em} = \frac{1}{4} \, E_0</math>.

Lo stress di Poincaré - che risolve il problema dell'instabilità dell'elettrone di Lorentz - resta inalterato per [[Trasformazione di Lorentz|trasformazioni di Lorentz]] (ovvero è Lorentz invariante). Era interpretato come la ragione dinamica della [[contrazione delle lunghezze|contrazione]] di [[Hendrik Lorentz|Lorentz]]-[[George Francis FitzGerald|FitzGerald]] della dimensione longitudinale dell'elettrone.

Restava da capire l'origine del fattore 4/3 che compare nella massa elettromagneticae.m. <math>m_{\rm em}</math> di [[Oliver Heaviside|Heaviside]], derivabile anche dalle equazioni di

[[Max Abraham|Abraham]]–[[Hendrik Lorentz|Lorentz]] dell'elettrone. Se si calcola il contributo puramente elettrostatico alla massa elettromagneticae.m. dell'elettrone, il termine 4/3 scompare:

::<math>m_{\rm es} = \frac {E_{\rm em}}{c^2}</math>,

mettendo in luce l'origine dinamica del contributo non elettromagnetico-e.m. <math>E_{\rm po}</math>:

::<math>m_{\rm em} - m_{\rm es} = \frac{4}{3} \,\frac{E_{\rm em}}{c^{2}} - \frac{E_{\rm em}}{c^{2}} = \frac{1}{3} \,\frac{E_{\rm em}}{c^{2}} = \frac{E_{\rm po}}{c^{2}}</math>.

Tenendo conto del termine non elettromagnetico-e.m. di Poincaré, le relazioni tra le diverse masse ed energie diventano:<ref name=miller>{{cita libro | nome= A. I.| cognome= Miller | titolo= Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911) | anno= 1981 | editore= Addison–Wesley | città= Reading |pp=382-383 |isbn=978-0-201-04679-3|lingua=en}}</ref> <ref name=macklenburg>{{cita libro |autore1= M. Janssen| autore2= M. Macklenburg| titolo= From classical to relativistic mechanics: Electromagnetic models of the electron |curatore= V. F. Hendricks, ''Interactions: Mathematics, Physics and Philosophy'' |anno= 2007 | editore= Springer | città= Dordrecht |pp=65-134 |lingua=en}}</ref>

::<math>m_{\rm em} = \frac{4}{3} \, m_{\rm es} = \frac{4}{3} \,\frac{E_{\rm em}}{c^{2}} =

\frac{E_{\rm em} + \frac{E_{\rm em}}{3}}{c^2} = \frac{E_{\rm em} + E_{\rm po}}{c^{2}} =

\frac{E_0}{c^2}</math>.

Quindi il fattore 4/3 compare quando la massa elettromagneticae.m. <math>m_{\rm em}</math> viene riferita all'energia elettromagneticae.m. <math>E_{\rm em}</math>, mentre scompare se si considera l'energia a riposo <math>E_0</math>:

::<math>m_{\rm em} = \frac{4}{3} \, \frac{E_{\rm em}}{c^{2}} = \frac{E_0}{c^2}</math>

Le formule precedenti - nonostante contengano il termine non elettromagnetico-e.m. <math>E_{\rm po}</math> - identificano, come sostenuto da Poincaré,<ref name=poinc/> la massa a riposo dell'elettrone con la massa elettromagneticae.m.: <math>m_{\rm em} = E_0/c^2</math> e presentano quindi un evidente problema interpretativo, che richiederà molti anni per essere risolto.

[[Max von Laue]] nel 1911 <ref>{{cita libro | nome= M. | cognome= von Laue | titolo= Das Relativitätsprinzip [Il principio di relatività]| anno= 1911 | editore= Vieweg | città= Braunschweig| lingua= de}} </ref> mostrò che, a causa del fattore 4/3, il [[quadrimpulso]] relativistico non si comporta come un [[quadrivettore]] nello [[spaziotempo di Minkowski]]. Anche von Laue utilizzò lo stress di Poincaré <math>E_{\rm po}</math>, ma dimostrò con un formalismo rigorosamente relativistico che vi sono ulteriori componenti di stress e forze. Per sistemi spazialmente estesi come l'elettrone di Lorentz, in cui si hanno sia energie elettromagnetichee.m. sia non elettromagnetiche-e.m., il risultato complessivo è che forze e momenti si trasformano correttamente come quadrivettori che formano un ''sistema chiuso''. Nel formalismo di von Laue il fattore 4/3 si manifesta solo se si considera la massa elettromagneticae.m.:

::<math>m_{\rm em} = \frac{4}{3} \,\frac{E_{\rm em}}{c^{2}}</math>.

Invece nel sistema complessivo la massa a riposo <math>m_0</math> e l'energia risultano connesse dalla formula di Einstein,<ref name=macklenburg/> il cui fattore è uguale a 1 :

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[[Paul Dirac]] (1938),<ref>{{Cita pubblicazione|autore= P. A. M. Dirac |anno=1938 |titolo=Classical Theory of Radiating Electrons |rivista=Proceedings of the Royal Society of London A |volume=167 |numero=929 |pp=148–169 |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56260v/f164 |doi=10.1098/rspa.1938.0124|lingua=en}}</ref> [[Fritz Rohrlich]] (1921 - 2018), fisico americano, (1960),<ref>{{Cita pubblicazione|autore= F. Rohrlich, Fritz |anno=1960 |titolo=Self-Energy and Stability of the Classical Electron

|rivista=American Journal of Physics |volume=28 |numero=7 |pp=639–643 |doi=10.1119/1.1935924|lingua= en}}</ref> [[Julian Schwinger]] (1983).<ref>{{Cita pubblicazione|autore=J. Schwinger |anno=1983

|titolo=Electromagnetic mass revisited |rivista=Foundations of Physics |volume=13 |numero=3 |pp=373–383 |doi=10.1007/BF01906185|lingua= en}}</ref> Divenne chiaro che la stabilità dell'elettrone e la presenza del fattore 4/3 nella massa elettromagneticae.m. sono problemi diversi. Venne inoltre dimostrato che le precedenti definizioni dei [[quadrimpulso|quadrimpulsi]] erano intrinsecamente non relativistiche. Ridefinendoli nella forma relativisticamente corretta di [[quadrivettore|quadrivettori]], anche la massa elettromagneticae.m. viene scritta come

::<math>m_{\rm em} = \frac{E_{\rm em}}{c^2}</math>

e quindi il fattore 4/3 scompare completamente.<ref name=macklenburg/> Ora non solo il ''sistema chiuso'' nella sua totalità, ma ogni parte del sistema si trasforma correttamente come un [[quadrivettore]]. Forze di legame come gli stress di Poincaré sono ancora necessarie per evitare che, per repulsione coulombiana, l'elettrone esploda. Ma si tratta ora di un problema di stabilità dinamica, del tutto distinto dalle formule d'equivalenza massa-energia.