Funzione differenziabile: differenze tra le versioni
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Osserviamo che al primo membro di questa equazione si ha il limite di un rapporto differenziale scalare, che è già definito per le funzioni da <math>\mathbb R</math> a <math>\mathbb R</math>. Si tratta di fissare un versore <math>\hat{\mathbf{h}}</math> e di considerare la variazione della funzione f quando il suo argomento varia lungo la retta individuata dal versore. Questo tipo di derivata viene definita '''derivata direzionale''' della funzione f rispetto alla direzione <math>\hat{\mathbf{h}}</math> e si indica nel modo seguente:
:<math>\frac {\partial f}{\partial \hat{\mathbf{h}}} ( \mathbf{v_0} ) \equiv \lim_{|\mathbf{h}| \to 0} \frac { f ( \mathbf{v_0} + | \mathbf{h} | \hat{\mathbf{h}} ) - f ( \mathbf{v_0} )} {| \mathbf{h} |}</math>
sicché il campo vettoriale <math>df / {d \mathbf{v}}</math> resta definito dalla seguente relazione:
<math>\frac {df}{d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} ) \cdot \hat{\mathbf{h}} = \frac {\partial f}{\partial \hat{\mathbf{h}}} ( \mathbf{v_0} )</math>
Se ora prendiamo un generico vettore <math>\mathbf v</math> e lo sviluppiamo rispetto una base <math>{ \mathbf{e_i} }</math> otteniamo:
<math>\frac {df}{d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} ) \cdot \mathbf{v} = frac {df}{d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} ) \cdot sum_i {v^i | \mathbf{e_i} | \hat{\mathbf{e_i}} } = sum_i { v^i | \mathbf{e_i} | frac {df}{d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} ) \cdot \hat{\mathbf{e_i}} } = sum_i { v^i | \mathbf{e_i} | \frac {\partial f}{\partial \hat{\mathbf{e_i}}} ( \mathbf{v_0} ) }</math>
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