Algebra lineare: differenze tra le versioni

Versione delle 11:30, 5 lug 2019

Versione delle 09:08, 25 ott 2019

Riga 67:

{{vedi anche|Trasformazione lineare}}

[[File:Rotation illustration2.svg|thumb|Una [[rotazione]] del [[piano cartesiano]] centrata nell'origine (0,0) è una trasformazione lineare.]]

Una Un'[[applicazione lineare]] è una [[funzione (matematica)|funzione]] fra due spazi vettoriali

:<math>f:V\to W</math>

che sia compatibile con le operazioni definite su entrambi. Devono cioè valere le proprietà seguenti:

Riga 101:

{{vedi anche|Prodotto scalare}}

[[File:Scalarproduct.gif|thumb|Il prodotto scalare euclideo nel piano fra due vettori <math>A</math> e <math>B</math> è definito come il prodotto delle lunghezze di <math>B</math> e della proiezione di <math>A</math> su <math>B</math>. Esistono però molti altri modi utili di definire un prodotto scalare, in spazi di dimensione arbitraria.]]

Due vettori <math>v</math> e <math>w</math> di uno spazio vettoriale possono essere ''sommati'': il risultato è un vettore <math>v+w</math>. Inoltre un vettore <math> v</math> e uno scalare <math>k</math> possono essere ''moltiplicati'': il risultato è un vettore <math>kv</math>. Nella definizione di spazio vettoriale non è però prevista una un'operazione di prodotto fra due vettori.

In alcuni contesti è però utile aggiungere una un'ulteriore [[operazione binaria]] fra vettori, che si comporti come un prodotto. Il risultato di questo prodotto può essere a sua volta un vettore o uno scalare. Nel primo caso, questa operazione si chiama [[prodotto vettoriale]], e nel secondo [[prodotto scalare]]. L'operazione di prodotto vettoriale risulta però interessante solo in dimensione tre, mentre i prodotti scalari esistono (e sono utili) in tutte le dimensioni: per questo motivo questi ultimi sono molto più studiati.

Nella definizione di spazio vettoriale non è inoltre neppure prevista una nozione di ''lunghezza'' (equivalentemente, ''norma'') per i vettori, né di ''angolo'' fra due di questi. Entrambe le nozioni di lunghezza e angolo risultano però definite se è fissato un opportuno prodotto scalare.<ref>Più precisamente, questo accade per uno spazio vettoriale reale dotato di un [[prodotto scalare definito positivo]].</ref>

Riga 119:

=== Geometria analitica ===

[[File:Parallel Lines.svg|thumb|left|Una retta nel [[piano cartesiano]] è descritta da una un'equazione lineare del tipo <math>ax+by+c=0</math>. Due rette distinte sono parallele se il sistema formato dalle loro due equazioni non ha soluzione.]]

[[File:Secretsharing-3-point.png|thumb|Tre piani nello spazio possono avere varie configurazioni differenti: in questo caso si intersecano in un punto. Ciascun piano è descritto da una un'equazione. Il punto di intersezione è ottenuto come soluzione di un sistema con 3 equazioni e 3 variabili.]]

In [[geometria analitica]] una retta o un piano sono descritti da sistemi di equazioni lineari: come si è appena visto, questi possono essere agevolmente studiati con gli strumenti dell'algebra lineare. Si possono quindi affrontare problemi quali le posizioni reciproche di due rette (o piani) nello spazio (che possono essere incidenti, paralleli o sghembi), e come queste variano per trasformazioni lineari.

Riga 131:

=== Analisi funzionale ===

Molti problemi dell'[[analisi funzionale]], quali la ricerca di una soluzione per una un'[[equazione differenziale]], vengono affrontati analizzando un particolare [[spazio di funzioni]]. Uno spazio di funzioni è uno [[spazio vettoriale]] i cui elementi sono funzioni di un certo tipo (ad esempio continue, integrabili, derivabili... definite su un dominio fissato). Spazi di questo tipo sono generalmente di dimensione infinita, e sono dotati di alcune strutture aggiuntive, quali ad esempio un [[prodotto scalare]] (negli [[spazio di Hilbert|spazi di Hilbert]]), una [[norma (matematica)|norma]] (negli [[spazio di Banach|spazi di Banach]]) o una più generale [[spazio topologico|topologia]] (negli [[spazio vettoriale topologico|spazi vettoriali topologici]]).

Esempi di spazi di funzioni includono gli [[spazio Lp|spazi Lp]] e gli [[spazio di Sobolev|spazi di Sobolev]].