Integrale di Darboux: differenze tra le versioni

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==Definizione==

[[Immagine:Intergrale esaustione.jpg|thumb|Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo). Da notare che la funzione rappresentata nel grafico è stata scelta positiva solo per comodità.|alt=]]

Si consideri una [[funzione continua]] <math>f\colon [a,b]\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, che su tale intervallo risulta [[funzione limitata|limitata]] in virtù del [[teorema di Weierstrass]]. Si suddivida l'intervallo tramite una [[Partizione di un intervallo|partizione]] <math>\mathcal{P}=\{x_0,\ x_1,\ \dots,\ x_{n-1},\ x_n|x_0=a<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b \}</math> in <math>n</math> intervalli <math>[x_{k-1},x_{k}]\subset [a,b]</math>.

[[Immagine:Intergrale esaustione.jpg|thumb|Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo). Da notare che la funzione rappresentata nel grafico è stata scelta positiva solo per comodità.|alt=]]

inoltre perPer ogni sub-intervallo della partizione si definiscono le due quantità:

:<math>\lambda_k := \inf_{x\in [x_{k-1},x_{k}]} f(x); \qquad \Lambda_k := \sup_{x\in [x_{k-1},x_{k}]} f(x).</math>

Si definisce la ''somma di Riemann-Darboux'' come:

Questi due valori sono l'[[estremo inferiore]] e l'[[estremo superiore]] delle ordinate dei punti del grafico della funzione <math>f(x)</math> limitatamente al sub-all'intervallo <math>[x_{k-1},x_{k}]</math>. Tali valori esistono certamente, proprio per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo.

:<math>\sigma_n = \sum_{k=1}^n f(t_k)(x_k-x_{k-1}) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f(t_k) </math>

Si definisce ''somma inferiore di Darboux'', di <math>f </math> relativa alla partizione <math>\mathcal{P}</math>, il numero reale:

inoltre per ogni sub-intervallo si definiscono le due quantità:

:<math>s(\lambda_k := \inf_mathcal{x\in [x_{k-1P},x_{k}]} f(x) \qquad \Lambda_k := \sup_sum_{xk=1}^n \inlambda_k [(x_k-x_{k-1},x_{k}]} f(x) .</math>

Analogamente, si definisce ''somma superiore di Darboux'', di <math>f </math> relativa alla partizione <math>\mathcal{P}</math>, il numero reale:

Questi due valori sono l'[[estremo inferiore]] e l'[[estremo superiore]] delle ordinate dei punti del grafico della funzione <math>f(x)</math> limitatamente al sub-intervallo <math>[x_{k-1},x_{k}]</math>. Tali valori esistono certamente, proprio per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo.

:<math>S(\sigma_nmathcal{P}, f) := \sum_{k=1}^n f(t_k)\Lambda_k (x_k-x_{k-1}) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f(t_k) .</math>

Si definisce ''somma inferiore di Darboux'', di <math>f </math> relativa alla partizione <math>\mathcal{P}</math>, il numero reale:

Esiste un [[lemma (matematica)|lemma]] che afferma che, data:

:<math>s(\mathcal{P}, f) := \sum_{k=1}^n \lambda_k (x_k-x_{k-1})</math>

:<math>m \leq f(x) \leq M, \qquad \forall x \in [a,b],</math>

Analogamente, si definisce ''somma superiore di Darboux'', di <math>f </math> relativa alla partizione <math>\mathcal{P}</math>, il numero reale:

allora per ogni coppia di [[Partizione di un intervallo|partizioni]] <math>\mathcal{P},\,\mathcal{Q}</math> di <math>[a,b]</math> si ha:

:<math>S(\mathcal{P}, f) := \sum_{k=1}^n \Lambda_k (x_k-x_{k-1})</math>

:<math>m(b-a) \leq s(\mathcal{P}, f) :=\leq S(\sum_mathcal{k=1Q}^n) \lambda_kleq M (x_kb-x_{k-1}a).</math>

SiaAl variare di ogni partizione <math>\overlinemathcal{xP}\in [x_{k-1},x_k]</math>, presa una partizionedi <math>\mathcal{P}_1=\mathcal{P}\cup\{\overline{x}\}[a,b],</math>, si ha chesiano:

:<math>\delta = \{s(\mathcal{P}, f)\leq s(}_\mathcal{P}_1, f); \quadqquad \Delta = \{S(\mathcal{P}, f)\geq S(}_\mathcal{P}_1, f).</math>

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli [[insieme|insiemi]] <math> \delta</math> e <math>\Delta</math> sono separati, cioè:

ciò significa che gli estremi inferiori e superiori della partizione <math>\mathcal{P}</math> sono, rispettivamente, maggiori e minori degli estremi della partizione <math>\mathcal{P}</math>. Pertanto si ottiene che incrementando i punti delle partizioni le approssimazioni per difetto e per eccesso migliorano, ovvero è possibile creare una successione debolmente crescente di somme inferiori <math>s</math> e una successione debolmente decrescente di somme superiori <math>S</math>. Infine, si definiscano:

:<math>s \leq S,\qquad\forall s \in \delta,\,\forall S \in \Delta.</math>

:<math>\begin{align}

G =\, &\{s(\mathcal{P}, f)|\mathcal{P}\ \text{è partizione di}\ [a,b]\}\\

H =\, &\{S(\mathcal{P}, f)|\mathcal{P}\ \text{è partizione di}\ [a,b]\}

\end{align}</math>

InL'[[assioma generaledi <math>f</math>Dedekind]] èsulla Darboux-integrabilecompletezza indi <math>[a,b]\R</math> seafferma <math>\sup{G}=\inf{H}=\xi</math>eallora inche talesiste casoalmeno l'''integraleun definito''[[numero direale]] <math>f</math>\xi \in <math>[a,b]\R</math>è tale che:

:<math>s \int_{a}^{b}leq f(x)\xi \leq S,dx:=\xiqquad\forall s \in \delta,\,\forall S \in \Delta.</math>

Se vi è un unico elemento di separazione <math>\xi</math> tra <math>s</math> e <math>S,</math> allora si dice che <math>f(x)</math> è ''integrabile in <math>[a,b]</math> secondo Darboux'' e l'elemento <math>\xi</math> si indica con:

:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx </math>

e si chiama ''integrale definito'' di <math>f</math> in <math>[a,b]</math>. I [[numero|numeri]] <math>a,b</math> sono detti ''estremi di integrazione'' e <math>f</math> è detta ''funzione integranda''. La variabile di integrazione, cioè la variabile della funzione integranda, è una [[variabile muta]], cioè <math>\int_{a}^{b} f(x)dx</math> ha lo stesso significato di <math>\int_{a}^{b} f(t)dt</math> o di <math>\int_{a}^{b} f(j)dj</math>. La forma differenziale <math>dx</math> è il [[differenziale (matematica)|differenziale]] della variabile di integrazione.

== Integrale multiplo di Darboux ==

{{Vedi anche|Integrale multiplo}}

Sia <math>N\subset\mathbb{R}^n</math> un [[Dominio semplice|dominio normale]], <math>f\colon N\to\mathbb{R}^n</math> limitata e <math>\mu</math> una [[Misura (matematica)|misura]]. Sia <math>\mathcal{P}=\{N_1,\ \dots,\ N_k\}</math> una partizione di <math>N</math> in domini normali.

Si definisce la ''somma di Riemann-Darboux'' come:

:<math>\sigma_k = \sum_{i=1}^k \mu(N_i)\,\underset{x\in N_i}{f(x)} </math>

Si definisce ''somma inferiore di Darboux'', di <math>f </math> relativa alla partizione <math>\mathcal{P}</math>, il numero reale:

:<math>s(\mathcal{P}, f) := \sum_{i=1}^k \mu(N_i)\,\inf\underset{x\in N_i}{f(x)}.</math>

Analogamente, si definisce ''somma superiore di Darboux'', di <math>f </math> relativa alla partizione <math>\mathcal{P}</math>, il numero reale:

:<math>S(\mathcal{P}, f) := \sum_{i=1}^k \mu(N_i)\,\sup\underset{x\in N_i}{f(x)}.</math>

In virtù di un lemma che riguarda i domani normali e le loro partizioni, si può concludere che:

:<math>\sup\underset{\mathcal{P}}{(s(\mathcal{P}, f))}\leq\inf\underset{\mathcal{P}}{(S(\mathcal{P}, f))}.</math>

Pertanto <math>f</math> si dice Darboux-integrabile in <math>N</math> se <math>\sup\underset{\mathcal{P}}{(s(\mathcal{P}, f))}=\inf\underset{\mathcal{P}}{(S(\mathcal{P}, f))}=\xi</math> e in tal caso si pone che:

:<math>\int_N f(x)\,dx_1\dots dx_n:=\xi.</math>

== Proprietà degli integrali ==