Algebra lineare: differenze tra le versioni

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Versione delle 16:28, 19 gen 2020

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L'insieme di tutte queste trasformazioni è anch'esso uno spazio vettoriale.

Se è fissata una [[base (algebra lineare)|base]] per uno spazio vettoriale, ogni trasformazione lineare può essere rappresentata da una tabella chiamata [[matrice (matematica)|matrice]].

Nell'algebra lineare si studiano quindi le proprietà delle matrici, e gli [[algoritmo|algoritmi]] per calcolare delle quantità importanti che le caratterizzano, quali il [[rango (algebra lineare)|rango]], il [[Determinante (algebra)|determinante]] e l'insieme dei suoi [[autovalore|autovalori]].

Uno spazio vettoriale (o spazio lineare), come concetto puramente astratto sul quale si provano [[teorema|teoremi]], è parte dell'[[algebra]] astratta, e ben integrato in questo campo: alcuni oggetti algebrici correlati ad esempio sono l'[[anello (algebra)|anello]] delle [[applicazione lineare|mappe lineari]] da uno spazio vettoriale in sé, o il [[gruppo (matematica)|gruppo]] delle [[applicazione lineare|mappe lineari]] (o [[matrice (matematica)|matrici]]) invertibili.

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=== Eliminazione di Gauss ===

{{vedi anche|Eliminazione di Gauss}}

L'[[eliminazione di Gauss]] è un algoritmo che consente di ridurre una matrice in una forma più semplice tramite opportune mosse sulle righe. Questo algoritmo è usato principalmente per determinare le soluzioni di un sistema di equazioni lineari, ma ha anche applicazioni più interne all'algebra lineare: con l'eliminazione di Gauss si può determinare il [[rango (algebra lineare)|rango]], il [[Determinante (algebra)|determinante]] o l'[[matrice inversa|inversa]] di una matrice, si può estrarre una base da un [[insieme di generatori]].

=== Determinante ===

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[[File:Determinant Example.png|thumb|left|upright=1.4|Una [[trasformazione lineare]] del [[piano cartesiano]] descritta da una [[matrice quadrata]] <math>2\times 2</math>. Il determinante della matrice fornisce delle informazioni sulla trasformazione: il [[valore assoluto]] descrive il cambiamento di area, mentre il segno descrive il cambiamento di [[orientazione]]. Nell'esempio qui riportato, la matrice ha determinante -1: quindi la trasformazione preserva le aree (un [[Quadrato (geometria)|quadrato]] di area 1 si trasforma in un [[parallelogramma]] di area 1) ma inverte l'orientazione del piano (cambia il verso della freccia circolare).]]

Il [[Determinante (algebra)|determinante]] è un numero associato ad una [[matrice quadrata]] <math>A</math>, generalmente indicato come <math>\det A</math>. Da un punto di vista algebrico, il determinante è importante perché vale zero precisamente quando la matrice non è [[matrice invertibile|invertibile]]; quando non è zero, fornisce inoltre un metodo per descrivere la [[matrice inversa]] tramite la [[regola di Cramer]].

Da un punto di vista geometrico, il determinante fornisce molte informazioni sulla trasformazione associata ad <math>A</math>: il suo segno (sui numeri reali) indica se la trasformazione mantiene l'[[orientazione]] dello spazio, ed il suo [[valore assoluto]] indica come cambiano le aree degli oggetti dopo la trasformazione.

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* [[Autovalore e autovettore]]

* [[Base (algebra lineare)]]

* [[Determinante (algebra)|Determinante]]

* [[Dimensione (spazio vettoriale)]]

* [[Eliminazione di Gauss]]