Asintoto: differenze tra le versioni
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{{F|matematica|ottobre 2015}}
[[File:1-over-x-plus-x.svg|thumb|Curva asintotica rispetto all'asse delle ordinate e alla retta y=x]]
Una retta è detta ''asintoto'' del grafico di una funzione quando la distanza di un punto qualsiasi della funzione da tale retta tende a 0 al tendere all'<math>\infty</math> dell'[[ascissa]] o dell'[[Ordinata (piano cartesiano)|ordinata]] del punto.<ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} p.U63</ref>
Il termine '''asintoto''' è utilizzato in [[matematica]] per designare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data. Con il termine ''asintoto'', senza ulteriori specificazioni, si intende, genericamente, una retta, a meno che dal contesto non emerga un altro significato, quando si vuole essere più specifici si parla di '''retta asintotica''' o, più in generale, di '''curva asintotica'''.
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== Rette asintotiche ==
=== Asintoto verticale ===
La retta di equazione <math>x=a</math> è '''asintoto verticale''' alla curva rappresentativa della funzione <math>y = f(x)</math>, se vale almeno una delle seguenti relazioni
# <math>\lim_{x \to a^{-}} f(x)=\pm\infty</math>
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Per esempio la [[tangente (matematica)|funzione tangente]] ha un numero infinito di asintoti verticali in corrispondenza dei valori <math>\frac{ \pi}{2}+k\pi</math> con <math>k \in \mathbb{Z}</math>, cioè le rette <math>x = \frac{\pi}{2}+k\pi</math> sono asintoti verticali.
Un altro esempio è il [[logaritmo
=== Asintoto orizzontale ===
La retta di equazione <math>y=c</math> è '''asintoto orizzontale''' alla curva di equazione <math>y = f(x)</math>, se<ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} p.U65</ref>:
:<math>\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = c </math>
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=== Asintoto obliquo ===
A volte può esistere un asintoto obliquo, ovvero la funzione tende asintoticamente ad una retta di equazione <math>y = m x + q</math><ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} pp.U142-143</ref>.▼
▲A volte può esistere un asintoto obliquo, ovvero la funzione tende asintoticamente ad una retta di equazione <math>y = m x + q</math>.
Questo accade quando si ha
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\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-(mx+q) \right] = 0
\end{align}</math>
e una condizione analoga si ha per i limiti a
Esiste un teorema che afferma<ref>{{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|cognome=Maderna C. e Soardi P.M.|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4}} p.258</ref> che la condizione necessaria e sufficiente affinché <math>y = m x + q</math> sia asintoto obliquo del grafico di <math>f(x)</math> per <math> x_0\to +\infty </math> è che esista finito:
:<math>\lim_{x\to+\infty}\frac {f(x)}{x}\;</math> e che sia <math>\lim_{x\to+\infty}\frac {f(x)}{x} = m</math>
e che esista finito anche:
:<math>\begin{align}
\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-mx \right]
\end{align}\;</math> e che sia <math>\begin{align}
\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-mx \right] = q
\end{align}</math>
L'enunciato per <math> x_0\to -\infty </math> è identico.
Come esempio notevole consideriamo la funzione
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=== Punto asintotico ===
=== Curva asintotica ===
[[File:Trid1111.jpg|miniatura|Tridente di Newton]]
Una curva di equazione <math>y=\frac{(ax^3+bx^2+cx+d)}{x}</math> ammette una parabola asintoto di equazione <math>y=ax^2+bx+c</math> e un'iperbole asintoto di equazione <math>y=\frac{d}{x}</math>. La figura costituisce un [[tridente di Newton]].
==Note==
<references/>
== Bibliografia ==
* {{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}}
* {{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|cognome=Maderna C. e Soardi P.M.|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4}}
== Voci correlate ==
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