Asintoto: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|ottobre 2015}}

[[File:1-over-x-plus-x.svg|thumb|Curva asintotica rispetto all'asse delle ordinate e alla retta y=x]]

Una retta è detta ''asintoto'' del grafico di una funzione quando la distanza di un punto qualsiasi della funzione da tale retta tende a 0 al tendere all'<math>\infty</math> dell'[[ascissa]] o dell'[[Ordinata (piano cartesiano)|ordinata]] del punto.<ref name="Bergamini63">{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} |p.=U63}}</ref>

Il termine '''asintoto''' è utilizzato in [[matematica]] per designare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data. Con il termine ''asintoto'', senza ulteriori specificazioni, si intende, genericamente, una retta, a meno che dal contesto non emerga un altro significato, quando si vuole essere più specifici si parla di '''retta asintotica''' o, più in generale, di '''curva asintotica'''.

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== Rette asintotiche ==

=== Asintoto verticale ===

La retta di equazione <math>x=a</math> è '''asintoto verticale''' alla curva rappresentativa della funzione <math>y = f(x)</math>, se vale almeno una delle seguenti relazioni<ref>{{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|cognome=Maderna C. e Soardi P.M.|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4|p=256}} p.256</ref><ref>{{Cita libro|titoloname=Corso"Bergamini63" Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} p.U63</ref>

# <math>\lim_{x \to a^{-}} f(x)=\pm\infty</math>

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=== Asintoto orizzontale ===

La retta di equazione <math>y=c</math> è '''asintoto orizzontale''' alla curva di equazione <math>y = f(x)</math>, se<ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} |p.=U65}}</ref>:

:<math>\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = c </math>

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=== Asintoto obliquo ===

A volte può esistere un asintoto obliquo, ovvero la funzione tende asintoticamente ad una retta di equazione <math>y = m x + q</math><ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} |pp.=U142-143}}</ref>.

Questo accade quando si ha

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e una condizione analoga si ha per i limiti a <math>-\infty</math>.

Esiste un teorema che afferma<ref>{{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|cognome=Maderna C. e Soardi P.M.|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4}} |p.=258}}</ref> che la condizione necessaria e sufficiente affinché <math>y = m x + q</math> sia asintoto obliquo del grafico di <math>f(x)</math> per <math> x_0\to +\infty </math> è che esista finito:

:<math>\lim_{x\to+\infty}\frac {f(x)}{x}\;</math> e che sia <math>\lim_{x\to+\infty}\frac {f(x)}{x} = m</math>