Operatore di d'Alembert: differenze tra le versioni

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in coordinate cartesiane, non in meccanica classica. In meccanica classica ci sono anche coordinate cilindriche, sferiche, polari 2D..
Box^2 meglio di Box
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L''''operatore di d'Alembert''' (rappresentato con un quadrato alla seconda potenza, essendo un [[operatore del secondo ordine]]: <math>\Box^2</math>), anche chiamato '''operatore dalembertiano'''<ref>[http://www.treccani.it/enciclopedia/operatore-dalembertiano/ www.treccani.it]</ref> oppure '''operatore delle onde''', è l'estensione dell'[[operatore di Laplace]] nello [[spazio di Minkowski]] e di altre soluzioni delle [[equazioni di Einstein]]. È impiegato nella teoria delle onde, nell'[[elettromagnetismo]] e nella [[relatività speciale]] e [[relatività generale|generale]].
 
In [[coordinate cartesiane]] l'operatore dalembertiano si scrive:
:<math>\Box^2=\partial^2_x+\partial^2_y+\partial^2_z-\frac{1}{v^2}\partial^2_t = \nabla^2 - \frac{1}{v^2} \partial^2_t</math>
dove ''v'' è la velocità dell'onda e <math>\nabla^2=\Delta</math> è l'[[operatore di Laplace]]. Nella relatività ristretta il d'Alembertiano prende la forma:
 
:<math>\Box^2 = \partial^\mu \partial_\mu = \eta^{\nu\mu} \partial_\nu \partial_\mu =-\partial_0^2 +\partial_1^2+\partial_2^2+\partial_3^2=\Delta-\frac{1}{c^2}\partial_t^2</math>
 
dove <math>\Delta</math> è il [[laplaciano]] ed <math> \eta^{ij}</math> è il [[tensore metrico]] dello [[spazio-tempo di Minkowski]] con la segnatura (-1,1,1,1). È immediato verificare che il d'Alembertiano è un operatore invariante sotto [[trasformazione di Lorentz|trasformazioni di Lorentz]] e perciò non varia le proprietà di trasformazione dei tensori a cui è applicato.
 
== Altre notazioni ==
Oltre al simbolo <math>\Box^2</math> (quadrato) è spesso usato per l'operatore d'Alembertiano anche il simbolo <math>\Delta_\mathbf{M}</math>, in analogia con il laplaciano ('''M''' sta ad indicare lo [[spazio di Minkowski]]), oppure il simbolo <math>\Box^2</math>. A volte <math>\Box</math> è usato per rappresentare la [[derivata covariante]] quadri-dimensionale di Levi-Civita. Il simbolo <math>\nabla</math> (nabla) è usato invece per rappresentare le derivate spaziali, ma dipendente dalle coordinate.
 
Un altro modo per scrivere l'operatore d'Alembertiano è <math>\partial^2</math>. La notazione è comoda in [[teoria quantistica dei campi]] dove le derivate parziali sono di solito indicizzate.