Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

Versione delle 17:38, 27 mag 2020

Versione delle 15:33, 4 giu 2020

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== Matrice Jacobiana ==

{{vedi anche|Matrice Jacobianajacobiana}}

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un [[intorno]] del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math>.

Dette <math>\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n}</math> e <math>\{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}</math> le [[base canonica|basi canoniche]] di <math>\R^n </math> e <math>\R^m </math> rispettivamente, si ha:

Dette:

:<math>\{mathbf L(\mathbf e_jx )\}_{1cdot \lemathbf je_j \le n}= \qquadsum_{i=1}^m \frac{\mathbfpartial u_iF_i (\mathbf {x})}_{1 \lepartial ix_j} \lecdot m}\mathbf u_i.</math>

le [[base canonica|basi canoniche]] di <math>\R^n </math> e <math>\R^m </math> rispettivamente, si ha:

:<math>\mathbf L(\mathbf x )\cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i </math>

L'[[trasformazione lineare|applicazione lineare]] <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> è quindi [[matrice di trasformazione|rappresentata]] nelle basi canoniche da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>m \times n</math>, detta [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math> di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

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Il <math>j</math>-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 217|rudin}}.</ref>

:<math>\mathbf L(\mathbf x )\mathbf{h} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} h_j \right] \mathbf u_i = J_F \mathbf h = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\mathbf h .</math>

A seconda delle dimensioni <math> m </math> e <math> n </math>, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

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* Se <math> m = 1 </math>, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore <math>n</math>-dimensionale, chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>. In tal caso si ha:

:<math> L(\mathbf x ) = \nabla F (\mathbf x ) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i \qquad \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { {F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-{F}(\mathbf{x}_0)-\nabla F(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = {0}.</math>

:Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.