Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

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Versione delle 19:01, 7 ott 2020

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{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[matematica]], e in particolare nella [[teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel]] (ZF), il '''teoremaTeorema di Cantor''' afferma che, datosviluppato undall'omonimo insiemematematico di qualsiasitedesco [[cardinalitàGeorg Cantor]] (numero di elementi), esiste sempreè un insiemeteorema diche cardinalitàafferma maggiore.che Inper particolare, dato unogni insieme <math>XA</math>, l'di qualsiasi [[insieme delle particardinalità]] di <math>X</math> (cioèfinita l'insiemeo formatoinfinita), dail tuttisuo i[[insieme possibilidelle sottoinsiemi diparti]] <math>X\mathcal P(A)</math>) ha sempre cardinalità strettamente maggiore di quella di: <math>Xcard(\mathcal P(A)) > card(A)</math>.

Per quanto riguarda gli insiemi finiti, il teorema di Cantor si dimostra semplicemente enumerando gli elementi dei due insiemi e confrontandone la cardinalità. La cardinalità di <math>A</math> è <math>n</math>. La cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math>, contando l'insieme vuoto <math>\emptyset</math> e <math>A</math> stesso come sottoinsiemi di <math>A</math>, vale <math>2^n</math>. Di conseguenza il teorema vale, perché <math>2^n > n</math> per ogni [[Intero positivo|intero non negativo]].

Il teorema di Cantor è ovvio per [[insieme finito|insiemi finiti]], ma continua a valere anche per [[insieme infinito|insiemi infiniti]]. In particolare, l'[[insieme delle parti]] di un [[insieme numerabile]] è non numerabile.

Il vero e proprio teorema di Cantor specifica che questa proprietà degli insiemi finiti non si estingue quando la loro cardinalità diviene infinita. Come conseguenza importante, si ha che l'insieme delle parti dei [[Numero naturale|numeri naturali]] <math>\mathcal P(\N)</math>, dove <math>\N</math> è un [[Insieme numerabile|infinito numerabile]] con cardinalità <math>\aleph_0 = card(\N)</math>, è un infinito non numerabile, con cardinalità uguale alla cardinalità dei [[Numero reale|numeri reali]] <math>\R</math>, spesso definita come [[cardinalità del continuo]].

Per una trattazione della tecnica di dimostrazione usata da Cantor si veda la voce [[argomento diagonale di Cantor]].

La relazione che lega la cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math> con quella di <math>A</math> è espressa dalla disequazione <math>2^{\aleph_0} > \aleph_0</math>. In particolare, l'insieme delle parti di un insieme numerabile (o non numerabile) è un insieme non numerabile.

== La dimostrazione ==

Il teorema di Cantor ha avuto un impatto immediato e importante sulla [[filosofia della matematica]]. Ad esempio, nell'applicare iterativamente l'insieme delle parti di un insieme infinito e successivamente il teorema di Cantor, otteniamo una gerarchia infinita di cardinalità infinite, ognuna strettamente maggiore della precedente. Di conseguenza, il teorema implica che non esiste una cardinalità massima per un insieme. Di conseguenza, i livelli gerarchici delle cardinalità infinite sono anch'esse infinite.<ref>{{Cita libro|autore=Marco Bramanti|autore2=Pagani Carlo Domenico|autore3=Sandro Salsa|titolo=Analisi Matematica 1}}</ref>

== Dimostrazione ==

Sia <math>f</math> una generica funzione da <math>A</math> nell'insieme delle parti di <math>A</math>:

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In entrambi i casi si ottiene una contraddizione. Quindi <math>A</math> e il suo insieme potenza non sono equipotenti. In particolare, la cardinalità dell'insieme delle parti di <math>A</math> è maggiore della cardinalità di <math>A</math> perché la funzione <math>g\colon A \to \mathcal P(A)</math> definita come <math>g(a)=\{a\}</math> è chiaramente iniettiva.

Per una trattazione della tecnica di dimostrazione usata da Cantor si veda la voce [[argomento diagonale di Cantor]].

== Voci correlate ==