Cantor's first set theory article: Difference between revisions

Revision as of 16:51, 8 March 2023

Revision as of 06:21, 28 June 2023

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|[Page 7]<br>

{{space|5}}Since the numbers α', α<nowiki>''</nowiki>, α<nowiki>'''</nowiki>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;., α^(ν),&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. are continually increasing by value while simultaneously being enclosed in the interval [α,&nbsp;β], they have, by a well-known fundamental theorem of the theory of magnitudes [see note 2 below], a limit that we denote by A, so that:<br>

{{space|12}}{{nowrap|A &#61;{{=}} Lim α^(ν) for ν &#61;{{=}} ∞.}}

{{space|5}}The same applies to the numbers β', β<nowiki>''</nowiki>, β<nowiki>'''</nowiki>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;., β^(ν),&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;., which are continually decreasing and likewise lying in the interval [α,&nbsp;β]. We call their limit B, so that:<br>

{{space|12}}{{nowrap|B &#61;{{=}} Lim β^(ν) for ν &#61;{{=}} ∞.}}

{{space|5}}Obviously, one has:<br>

Line 309:

to the assumption.

{{space|5}}Thus, there only remains the case A&nbsp;&#61;{{=}}&nbsp;B and now it is demonstrated that the number:<br>

{{space|12}}η&nbsp;&#61;{{=}}&nbsp;A&nbsp;&#61;{{=}}&nbsp;B<br>

does ''not'' occur in our sequence (ω).

{{space|5}}If it were a member of our sequence, such as the ν^th, then one would have: η &#61;{{=}} ω_ν.

{{space|5}}But the latter equation is not possible for any value of ν because η is in the ''interior'' of the interval [α^(ν),&nbsp;β^(ν)], but ω_ν lies ''outside'' of it.

Line 319:

|{{lang-de|[Seite 7]<br>

{{space|5}}Da die Zahlen α', α<nowiki>''</nowiki>, α<nowiki>'''</nowiki>, &nbsp;.&nbsp;.&nbsp;., α^(ν), &nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. ihrer Grösse nach fortwährend wachsen, dabei jedoch im Intervalle (α&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;β) eingeschlossen sind, so haben sie, nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre, eine Grenze, die wir mit A bezeichnen, so dass:<br>

{{space|12}}{{nowrap|A &#61;{{=}} Lim α^(ν) für ν &#61;{{=}} ∞.}}

{{space|5}}Ein Gleiches gilt für die Zahlen β', β<nowiki>''</nowiki>, β<nowiki>'''</nowiki>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;., β^(ν),&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;β) liegen; wir nennen ihre Grenze B, so dass:<br>

{{space|12}}{{nowrap|B &#61;{{=}} Lim β^(ν) für ν &#61;{{=}} ∞.}}

{{space|5}}Man hat offenbar:<br>

Line 329:

{{space|5}}Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A&nbsp;<&nbsp;B hier ''nicht'' vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω_ν, unserer Reihe ''ausserhalb'' des Intervalles (A&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;B) liegen würde, indem ω_ν, ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) gelegen ist; unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;β) ''nicht überalldicht,'' gegen die Voraussetzung.

{{space|5}}Es bleibt daher nur der Fall A&nbsp;&#61;{{=}}&nbsp;B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl:<br>

{{space|12}}{{nowrap|η &#61;{{=}} A &#61;{{=}} B}}<br>

in unserer Reihe (ω) ''nicht'' vorkommt.

{{space|5}}Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das ν^te, so hätte man: η &#61;{{=}} ω_ν.

{{space|5}}Die letztere Gleichung ist aber für keinen Werth von v möglich, weil η im ''Innern'' des Intervalls [α^(ν),&nbsp;β^(ν)], ω_ν aber ''ausserhalb'' desselben liegt.|label=none|italic=unset}}