Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 20:26, 7 ott 2020

Versione delle 20:28, 7 ott 2020

Riga 1:

{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[matematica]], e in particolare nella [[teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel]] (ZF), il '''Teoremateorema di Cantor''', sviluppato dall'omonimo matematico tedesco [[Georg Cantor]], è un teorema che afferma che per ogni insieme <math>A</math>, di qualsiasi [[cardinalità]] (finita o infinita), il suo [[insieme delle parti]] <math>\mathcal P(A)</math> ha sempre cardinalità strettamente maggiore.

:<math>\mathrm{card(\mathcal P(A))} > \mathrm{card(A)}</math>

Per quanto riguarda gli insiemi finiti, il teorema di Cantor si dimostra semplicemente enumerando gli elementi dei due insiemi e confrontandone la cardinalità. La cardinalità di <math>A</math> è <math>n</math>. La cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math>, contando l'insieme vuoto <math>\emptyset</math> e <math>A</math> stesso come sottoinsiemi di <math>A</math>, vale <math>2^n</math>. Di conseguenza il teorema vale, perché <math>2^n > n</math> per ogni [[Intero positivo|intero non negativo]].

Il vero e proprio teorema di Cantor specifica che questa proprietà degli insiemi finiti non si estingue quando la loro cardinalità diviene infinita. Come conseguenza importante, si ha che l'insieme delle parti dei [[Numero naturale|numeri naturali]] <math>\mathcal P(\N)</math>, dove <math>\N</math> è un [[Insieme numerabile|infinito numerabile]] con cardinalità <math>\aleph_0 = card(\N)</math>, è un infinito non numerabile, con cardinalità uguale alla cardinalità dei [[Numero reale|numeri reali]] <math>\R</math>, spesso definita come [[cardinalità del continuo]].

Riga 30:

<math>\begin{aligned}\xi \in f(\xi) &\iff \xi \in B && \text{(dall'assunzione che }f(\xi)=B\text{)}; \\

\xi\in B &\iff \xi\notin f(\xi) && \text{(per definizione di }B\text{)}.\end{aligned}</math>

Si ha quindi una contraddizione. Quindi non esiste un valore <math>\xi \in A : f(\xi) = B</math>.

Si ha quindi una contraddizione. Quindi non esiste un valore <math>\xi \in A : f(\xi) = B</math>. In altre parole, <math>B</math> non è nell'immagine di <math>f</math>, e <math>f</math> non mappa a tutti gli elementi di <math>\mathcal P(A)</math>, e quindi <math>f</math> non è suriettiva. Per completare il teorema non resta che trovare una funzione iniettiva <math>g\colon A \to \mathcal P(A).</math> Questa funzione è molto semplice ed è definita come la funzione che mappa <math>x</math> all'insieme contenente solamente <math>x</math>.

Per completare il teorema non resta che trovare una funzione iniettiva <math>g\colon A \to \mathcal P(A).</math>

Questa funzione è molto semplice ed è definita come la funzione che mappa <math>x</math> all'insieme contenente solamente <math>x</math>.

:<math>g(x)=\{x\}</math>

La dimostrazione è terminata, in quanto abbiamo stabilito la diseguaglianza stretta per ogni insieme <math>A</math> tale che <math>\mathrm{card(\mathcal P(A))} > \mathrm{card(A)}</math>

== Voci correlate ==