Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 23:57, 7 ott 2020

Versione delle 23:58, 7 ott 2020

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== Dimostrazione ==

Per definizione di cardinalità, abbiamo <math>\mathrm{card(X)} < \mathrm{card(\bar{X})}</math> per due insiemi generici <math>X</math> e <math>\bar{X}</math>, se e solo se esiste una funzione [[Funzione iniettiva|iniettiva]], ma non [[Corrispondenza biunivoca|biettiva]] da <math>X</math> a <math>\bar{X}</math>.

Di conseguenza, è sufficiente dimostrare che non c'è [[suriezione]] da <math>X</math> a <math>\bar{X}</math>. Questo è il cuore del teorema di Cantor: non esiste una funzione suriettiva da un insieme al suo insieme delle parti. Per dimostrarlo, basta far vedere che non è possibile per una funzione <math>f</math> mappare tutti gli elementi di un insieme qualsiasi <math>A</math> a tutti i sottoinsiemi generati dall'insieme delle parti <math>\mathcal P(A)</math>.