Insieme nullo (teoria della misura): differenze tra le versioni

Versione delle 10:46, 19 ott 2007

Versione delle 16:06, 22 ott 2007

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== Definizione ==

Sia <i>''X</i>'' uno [[spazio misurabile]], sia <i>''m</i>'' una misura su <i>''X</i>'', e sia <i>''N</i>'' un [[insieme misurabile]] in <i>''X</i>''.

Se <i>''m</i>'' è una [[misura positiva]], allora <i>''N</i>'' è nullo [[Se e solo se|sse]] la sua misura <i>''m</i>''(<i>''N</i>'') è [[0 (numero)|zero]].

Se <i>''m</i>'' non è una misura positiva, allora <i>''N</i>'' è <i>''m</i>''-nullo se <i>''N</i>'' è |<i>''m</i>''|-nullo, dove |<i>''m</i>''| è la [[variazione totale]] di <i>''m</i>''; questo è più forte che richiedere <i>''m</i>''(<i>''N</i>'') = 0.

Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un [[sottoinsieme]] di un insieme misurabile nullo.

Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.

Parlando di insiemi nulli nell'[[spazio euclideo|''n''-spazio euclideo]] <b>'''R</b>'''^<i>''n</i>'' è di solito sottointeso che la misura usata è quella di [[misura di Lebesgue|Lebesgue]].

== Proprietà ==

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Più in generale, ogni [[unione (insiemistica)|unione]] [[numerabile]] di insiemi nulli è nulla.

Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo.

Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi <i>''m</i>''-nulli di <i>''X</i>'' formano un [[sigma-ideale]] su <i>''X</i>''.

Allo stesso modo gli insiemi <i>''m</i>''-nulli misurabili formano un sigma-ideale della [[sigma-algebra]] degli insiemi misurabili.

Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come [[insieme trascurabile|insiemi trascurabili]], definendo una nozione di [[quasi ovunque]].

=== Nella misura di Lebesgue ===

Per la misura di Lebesgue su <b>'''R</b>'''^<i>''n</i>'', tutti gli [[singleton (matematica)|insiemi di un punto]] sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli.

In particolare, L'insieme <b>'''Q</b>''' dei [[numero razionale|numeri razionali]] è un insieme nullo, nonostante sia [[denso (topologia)|denso]] in <b>'''R</b>'''.

L'[[insieme di Cantor]] è un esempio di insieme nullo [[insieme non numerabile|non numerabile]] in <b>'''R</b>'''.

Più in generale, un sottoinsieme <i>''N</i>'' di <b>'''R</b>''' è nullo se e solo se:

: Dato un qualsiasi [[numero positivo]] &epsilon;, esiste una [[successione (matematica)|successione]] {<i>''I</i>''_<i>''n</i>''} di [[intervallo (matematica)|intervalli]] tali che <i>''N</i>'' è contenuto nell'unione degli <i>''I</i>''_<i>''n</i>'' e la lunghezza totale degli <i>''I</i>''_<i>''n</i>'' è minore di &epsilon;.

Questa condizione può essere generalizzata a <b>'''R</b>'''^<i>''n</i>'', usando <i>''n</i>''-[[Cubo (geometria)|cubi]] al posto degli intervalli.

Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni [[varietà topologica]], anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.