Parte intera: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

[[File:Floor function.svg|thumb|right|La funzione parte intera]]

In [[matematica]], la funzione '''parte intera''', nota anche come funzione '''floor''' (dalla parola [[lingua inglese|inglese]] ''floor'' che significa "pavimento"), è la [[funzione (matematica)|funzione]] che associa ad ogni [[numero reale]] ''<math>x''</math> il più grande [[numero intero|intero]] minore o uguale a ''<math>x''</math>. La funzione parte intera è solitamente indicata con <math>\lfloor x \rfloor</math> o <math>[x] </math>.

La [[funzione mantissa]], definita come <math>x -\lfloor x\rfloor</math>, anche scritta come ''<math>x''&nbsp;</math> [[aritmetica modulare|mod]]&nbsp; 1, oppure <math>\{''x''\}</math>, è chiamata la '''parte frazionaria''' di ''<math>x''</math>. Ogni [[frazione (matematica)|frazione]] ''<math>x''</math> può essere scritta come un numero misto, cioè la somma di un intero e una [[frazione (matematica)|frazione propria]]. La funzione floor e la funzione parte frazionaria estendono questa decomposizione a tutti i numeri reali.

== Proprietà ==

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:<math> \lfloor x \rfloor=\max\, \{k\in\mathbb{Z} : k\le x\}</math>

:<math> \lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1</math>

:con l'uguaglianza nella parte sinistra che vale [[se e solo se]] ''<math>x''</math> è un intero.

* La funzione parte intera è [[idempotenza|idempotente]]:

: <math>\lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor</math>.

* Per ogni intero ''<math>k''</math> e ogni numero reale ''<math>x''</math>,

:<math> \lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.</math>

* Per ogni numero reale non intero ''<math>x''</math> si ha:

:<math>\lfloor -x\rfloor=-\lfloor x\rfloor-1, </math>

* L'ordinario [[arrotondamento]] di un numero ''<math>x''</math> all'intero più vicino può essere espresso come <math>\lfloor x + 0.,5 \rfloor</math>.

* La funzione parte intera non è [[funzione continua|continua]], ma è [[funzione semi-continua|semi-continua]]. Essendo una [[funzione costante]] a tratti , la sua [[derivata]] è zero quando esiste, cioè per tutti i valori che non sono interi.

* Se ''<math>x''</math> è un numero reale e ''n'' un intero, si ha ''<math>n''\le ≤ ''x''</math> se e solo se ''<math>n''\le ≤\lfloor floor(''x'')\rfloor.</math> In linguaggio ricercato, la funzione parte intera fa parte di una [[connessione di Galois]]; è l'aggiunta superiore della funzione che immerge gli interi nei reali.

* Usando la funzione floor, si possono produrre diverse [[formule per calcolare i numeri primi]] che sono esplicite ma non utilizzabili nella pratica.

* Il [[teorema di Beatty]] afferma che ogni [[numero irrazionale]] partiziona i numeri naturali in due sequenze tramite la funzione floor.

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[[File:Ceiling function.svg|thumb|right|La funzione ceiling]]

Una funzione strettamente correlata è la '''parte intera superiore''', nota anche come funzione '''ceiling''' (dalla parola [[lingua inglese|inglese]] ''ceiling'' che significa "soffitto", contrapposta a ''floor'', "pavimento"), definita nel modo seguente:

per ogni numero reale ''<math>x''</math>,

ceiling(''<math>x''</math>) è il più piccolo intero non minore di ''<math>x''</math>. Per esempio, ceiling(2.,3) = 3,

ceiling(2) = 2 e ceiling(−2.,3) = −2. La funzione ceiling è anche indicata con <math>\lceil x \rceil</math>.

È facile provare che

:<math>\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor</math>

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=== Problemi di arrotondamento ===

{{vedi anche|arrotondamento}}

L'uso dell'arrotondamento può generare effetti imprevisti e che vanno contro quello che l'intuito suggerirebbe. Per esempio, <code>(int)(0.,6/0.,2)</code> restituisce il valore 2 nella maggior parte delle implementazioni del C, anche se matematicamente è 0.,6/0.,2 = 3.

Questo problema è dovuto al fatto che i computer lavorano internamente con il [[sistema numerico binario]] e non è possibile rappresentare i numeri 0.,6 e 0.,2 con stringhe binarie di lunghezza finita. Più in generale: i computer non lavorano mai direttamente con un certo numero decimale, ma solo con una sua approssimazione. Nell'esempio, quindi, il risultato viene calcolato come 2.,999999999999999555910790149937, che l'operatore <code>(int)</code> converte tranquillamente al valore 2.

A causa di questi problemi, la maggior parte delle [[calcolatrice|calcolatrici]] moderne usa internamente il [[Binary-coded decimal|sistema numerico decimale codificato in binario]].

== Distribuzione uniforme modulo 1 ==

Se ''<math>x''</math> è un numero irrazionale, allora le parti frazionarie ''<math>nx'' mod\bmod 1</math>, dove ''<math>n''</math> varia fra gli interi positivi, sono distribuite uniformemente nell'[[intervallo (matematica)|intervallo aperto]] <math>(0,1)</math>. Questa affermazione può essere resa più precisamente in molti modi, uno dei quali afferma:

:<math>\int_0^1 f(t)\; dt = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f(nx \;\operatorname{mod}\;bmod 1),</math>

per ogni [[funzione continua]] a [[numero reale|valori reali]] <math>f:\colon [0,1]\to\mathbb{R}</math> (vedi [[limite (matematica)|limite]], [[integrale]] e [[teorema dell'equidistribuzione]]).

Seguendo il principio generale dell'[[approssimazione diofantea]] scoperto da [[Hermann Weyl]], questa proprietà è equivalente a qualcosa che è molto più facile da controllare: ovveroossia che le somme

:<math>\sum\limits_{n=0}^N e^{2 \pi i k n x},</math>

per <math>k\in\mathbb{N}</math> sono [[O-grande|O(N)]]. Poiché sono [[progressione geometrica|progressioni geometriche]], questo può essere provato in maniera abbastanza diretta. La condizione che ''<math>x''</math> sia irrazionale implica che

:<math>\sin \pi k x \ne 0.</math>