Ipocicloide: differenze tra le versioni

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L{{'}}'''ipocicloide''' è una curva piana appartenente alla categoria delle [[rulletta |rullette]] ovveroossia delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di [[ipotrocoide]].

== Forma matematica ==

[[Immagine:Hypocycloid.png|thumb|Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto ''<math>a/b''</math> pariuguale a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).]]

La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio <math>b</math> che rotola (senza strisciare) su di una circonferenza di raggio <math>a</math> (con <math>a>b</math>) è data da:

:<math>\begin{cases}

x = \left ( a - b \right ) \cos \phi + b \cos \left ( \frac {a-b}{b} \phi \right ) \\

y = \left ( a - b \right ) \sin \phi - b \sin \left ( \frac {a-b}{b} \phi \right ).

\end{cases}</math>

L'ipocicloide è una [[funzione continua]] ed è [[funzione differenziabile|differenziabile]] ovunque tranne sulle [[cuspide (matematica)|cuspidi]].

Se <math> \frac {a}{b} </math> è un [[numero razionale]] allora l'ipocicloide è una curva chiusa con <math>\frac{a}{b} </math> cuspidi. In particolare se <math>\frac{a}{b} = n \in \mathbb{N},</math> allora l'ipocicloide ha <math>n</math> cuspidi,; mentreinvece se <math>\frac{a}{b} \in \mathbb{Q \smallsetminus Z},</math> allora l'ipocicloide ha un numero di cuspidi pari al numeratore della frazione ai minimi termini che deriva da <math>\frac{a}{b}</math> (quindi supponendo <math>(a,b)=1</math> abbiamo esattamente <math>a</math> cuspidi). Se invece <math>\frac {a}{b}</math> è un [[numero irrazionale]] la curva non si chiude mai.

[[File:Hypocycloids.gif|thumb|upright=2.7|Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra ''<math>a''</math> e ''<math>b''</math> [[numero razionale|razionale]], invece, nell'ultima riga il rapporto tra ''<math>a''</math> e ''<math>b''</math> è [[numero irrazionale|irrazionale]]. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.]]

== Voci correlate ==