Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 11:01, 2 giu 2021

Versione delle 19:38, 21 ago 2021

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In [[matematica]], e in particolare nella [[teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel]] (ZF), il '''teorema di Cantor''', sviluppato dall'omonimo matematico tedesco [[Georg Cantor]], è un teorema che afferma che per ogni insieme <math>A</math>, di qualsiasi [[cardinalità]] (finita o infinita), il suo [[insieme delle parti]] <math>\mathcal P(A)</math> ha sempre cardinalità strettamente maggiore.

:<math>\mathrm{card(\mathcal P(A))} > \mathrm{card(A)}</math>

Per quanto riguarda gli insiemi finiti, il teorema di Cantor si dimostra semplicemente enumerando gli elementi dei due insiemi e confrontandone la cardinalità. La cardinalità di <math>A</math> è <math>n</math>. La cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math>, contando l'insieme vuoto <math>\varnothing</math> e <math>A</math> stesso come sottoinsiemi di <math>A</math>, vale <math>2^n</math>. Di conseguenza il teorema vale, perché <math>2^n > n</math> per ogni [[Intero positivo|intero non negativo]]. Il vero e proprio teorema di Cantor specifica che questa proprietà degli insiemi finiti non si estingue quando la loro cardinalità diviene infinita. Come conseguenza importante, si ha che l'insieme delle parti dei [[Numero naturale|numeri naturali]] <math>\mathcal P(\N)</math>, dove <math>\N</math> è un [[Insieme numerabile|infinito numerabile]] con cardinalità <math>\aleph_0 = \mathrm{card(\N)}</math>, è un infinito non numerabile, con cardinalità uguale alla cardinalità dei [[Numero reale|numeri reali]] <math>\R</math>, spesso definita come [[cardinalità del continuo]].

Il vero e proprio teorema di Cantor specifica che questa proprietà degli insiemi finiti non si estingue quando la loro cardinalità diviene infinita. Come conseguenza importante, si ha che l'insieme delle parti dei [[Numero naturale|numeri naturali]] <math>\mathcal P(\N)</math>, dove <math>\N</math> è un [[Insieme numerabile|infinito numerabile]] con cardinalità <math>\aleph_0 = \mathrm{card(\N)}</math>, è un infinito non numerabile, con cardinalità uguale alla cardinalità dei [[Numero reale|numeri reali]] <math>\R</math>, spesso definita come [[cardinalità del continuo]].

La relazione che lega la cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math> con quella di <math>A</math> è espressa dalla disequazione <math>2^{\aleph_0} > \aleph_0</math>. In particolare, l'insieme delle parti di un insieme numerabile (o non numerabile) è un insieme non numerabile.