Funzione differenziabile: differenze tra le versioni
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m →Definizione: per come era precedentemente definita L sembrava che fosse lineare rispetto all'argomento x_0, mentre lo è rispetto ad h; spero che questa modifica non renda più complicata la comprensione dell'argomento, ma per come era scritto prima non era molto corretto; la cosa migliore sarebbe scrivere anche nel limite L senza x_0 per poi considerare L al variare di x_0 chiamandolo Df(x_0); capisco che per esplicitare la dipendenza di L da x_0 scrivere L(x_0) è comodo ma è anche fuorviant |
m →Definizione: stessa modifica di cui sopra |
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La funzione <math>\mathbf{F}</math> è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.<ref>{{Cita|Rudin|p. 214}}.</ref> In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa <math>\mathbf{x}</math> a <math>\mathbf{L} (\mathbf{x})</math> è continua, la funzione si dice ''differenziabile con continuità''.<ref>{{Cita|Rudin|p. 220}}.</ref>
Nel caso di una funzione <math>f</math> di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in <math>{x}_0</math> se esiste un'applicazione lineare <math>{L}({x}_0):\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math> tale che:<ref>{{Cita|Rudin|p. 212}}.</ref>
:<math>\lim_{{h}\to {0}} \frac { {f}({x}_0+{h})-{f}({x}_0)-{L}({x}_0){h} } {h} = {0}</math>
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ed in tal caso si ha:
:<math>L(x) = f'(x).</math>
== Matrice jacobiana ==
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