Gruppo di Galois assoluto: differenze tra le versioni

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Versione delle 20:22, 23 apr 2022

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:(Per la notazione vedere [[limite inverso]].)

:L'[[automorfismo di Frobenius]] <math>\mathrm{Fr}</math> è un generatore (topologico) canonico di <math>G_K</math> (si ricordi che <math>\mathrm{Fr}(x)=x^q</math> per ogni <math>x\in K^{alg}</math>, dove <math>q</math> è il numero di elementi di <math>K</math>).

* Il gruppo di Galois assoluto del campo delle funziono razionali con coefficienti complessi è libero (come un [[gruppo profinito]]). Questo risultato è dovuto a [[Adrien Douady]] e ha le sue origini nel [[teorema di esistenza di Riemann]].<ref>{{cita|Douady, 1964}}.</ref>

* Più in generale, sia <math>C</math> un campo algebricamente chiuso e <math>x</math> una variabile. Il gruppo di Galois assoluto di <math>K=C(x)</math> è libero di rango uguale alla cardinalità di <math>C.</math> Questo risultato è dovuto a [[David Harbater]] e [[Florian Pop]], e fu dimostrato nuovamente in seguito da [[Dan Haran]] e [[Moshe Jarden]] usando metodi algebrici.<ref>{{cita|Harbater, 1995}}.</ref><ref>{{cita|Pop, 1995}}.</ref><ref>{{cita|Haran Jarden, 2000}}.</ref>

* Sia <math>K</math> un'estensione finita del campo dei [[numeri p-adici]] <math>\Q_p.</math> Per <math>p \ne 2,</math> il suo gruppo di Galois assoluto è generato da <math>[K:\Q_p]+3</math> elementi e ha una descrizione esplicita in termni di generatori e relazioni. Questo è un risultato di Uwe Jannsen e Kay Wingberg.<ref>{{cita|Jannsen Wingberg, 1982}}.</ref><ref>{{cita|Neukirch Schmidt Wingberg, 2000|loc=theorem 7.5.10}}</ref> Alcuni risultati sono noti per il caso <math>p=2,</math> ma la struttura per <math>\Q_2</math> non è nota.<ref>{{cita|Neukirch Schmidt Wingberg, 2000|loc=§VII.5}}</ref>

* Un altro caso in cui il gruppo di Galois assoluto è stato determinato è per il massimo sottocampo totalmente reale del campo dei [[numeri algebrici]].<ref>{{Cita web|url=http://math.uci.edu/~mfried/paplist-cov/QTotallyReal.pdf |titolo=qtr |formato=PDF |data= |accesso=4 settembre 2019}}</ref>