Numero irrazionale: differenze tra le versioni

Versione delle 19:28, 13 gen 2022

Versione delle 16:57, 21 gen 2022

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Questa dimostrazione si può generalizzare per dimostrare che qualunque radice di qualunque [[numero naturale]] è un numero naturale o è irrazionale.

Un'altra dimostrazione per assurdo che dimostra l'irrazionalità di <math>\sqrt 2</math> è meno conosciuta ma interessante. Essa procede osservando che se <math>\sqrt 2 = \frac{m}{n}</math> allora sfruttando il fatto che <math>2 = \frac{m^2}{n^2}</math> si ottiene <math>\sqrt 2 = \frac{2n - m}{m - n}</math>, quindi una frazione ai minimi termini viene ridotta in termini ancora minori. Questa è una contraddizione se <math>n</math> e <math>m</math> sono interi positivi, dunque l'assuzioneassunzione che <math>\sqrt 2</math> sia razionale deve essere falsa. Da un triangolo rettangolo isoscele di cui i cateti e l'ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezze <math>n</math> e <math>m</math>, tramite una classica costruzione con riga e compasso, è possibile costruire un triangolo isoscele rettangolo più piccolo tale che i cateti e l'ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezze <math>m - n</math> e <math>2n - m</math>. Questa costruzione dimostra l'irrazionalità di <math>\sqrt 2</math> con lo stesso tipo di metodo che fu impiegato dagli antichi geometri greci.

=== Irrazionalità dei logaritmi ===