Sweat fu scelto dai [[Philadelphia Eagles]] nel corso del quarto giro (130º assoluto) del [[Draft NFL 2018]].<ref>{{citecita web|titletitolo=Eagles add to pass-rushing riches, draft Josh Sweat|url=http://www.nfl.com/news/story/0ap3000000929845/article/eagles-add-to-passrushing-riches-draft-josh-sweat|authorautore=Teope, Herbie|websitesito=NFL.com|datedata=28 aprile 2018|accessdateaccesso=3 febbraio 2022|languagelingua=en}}</ref> Fu inserito in lista infortunati l'11 dicembre 2018.<ref>{{citecita web|titletitolo=Eagles Sign RB Boston Scott And DE Daeshon Hall|url=https://www.philadelphiaeagles.com/news/eagles-sign-daeshon-hall-boston-scott|authorautore=McPherson, Chris|websitesito=PhiladelphiaEagles.com|datedata=11 dicembre 2018|languagelingua=en}}</ref>
Nel 2020, Sweat disputò 14 partite, di cui 3 come titolare, facendo registrare 6 [[sack (football americano)|sack]], 38 [[tackle]] e 3 [[fumble]] forzati. Fu inserito in lista infortunati il 26 dicembre 2020.<ref>{{citecita news|authorautore=Spadaro, Dave |titletitolo=A six-pack sample: DeSean Jackson is active; what does it mean? |url=https://www.philadelphiaeagles.com/news/a-six-pack-sample-desean-jackson-is-active-what-does-it-mean |websitesito=PhiladelphiaEagles.com |datedata=26 dicembre 2020 |accessdateaccesso=3 febbraio 2022|languagelingua=en}}</ref>
Il 18 settembre 2021 Sweat firmò un nuovo contratto triennale del valore di 40 milioni di dollari con i Philadelphia Eagles.<ref>{{citecita news|authorautore=Bowman, Paul |titletitolo=Eagles Agree To Three-Year Extension With Josh Sweat |url=https://www.sportstalkphilly.com/2021/09/eagles-agree-to-three-year-extension-with-josh-sweat.html |websitesito=SportsTalkPhilly.com |datedata=18 settembre 2021 |accessdateaccesso=3 febbraio 2022|languagelingua=en}}</ref> A fine stagione fu convocato per il suo primo [[Pro Bowl]], sostituendo l'infortunato [[Nick Bosa]], dopo un nuovo primato personale di 7,5 sack.<ref>{{citecita news|authorautore=Bowman, Paul |titletitolo=Eagles Add Another To Pro Bowl |url=https://www.sportstalkphilly.com/2022/02/eagles-add-another-to-pro-bowl.html |websitesito=SportsTalkPhilly.com |datedata=2 febbraio 2022 |accessdateaccesso=3 febbraio 2022|languagelingua=en}}</ref>
