Geometria: differenze tra le versioni

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== Geometria algebrica ==

{{vedi anche|Geometria algebrica}}

Dal [[XIX secolo]] in poi l'algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. Nel tentativo di "abbellire" il quadro, e di ricondurre molte proprietà e teoremi ad un numero sempre minore di proprietà fondamentali, la geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: si aggiungono i "punti all'infinito" (creando così la [[geometria proiettiva]]), e si fanno variare le coordinate di un punto non solo nei [[numeri reali]], ma anche in quelli [[numeri complessi|complessi]].

[[File:Drawing Square in Perspective 2.png|thumb|left|La geometria proiettiva è la geometria "vista da un occhio". In questa geometria due [[Retta|rette]] si incontrano sempre.]]

=== Geometria proiettiva ===

{{vedi anche|Geometria proiettiva}}

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In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti differenti della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in questo nuovo contesto. La geometria proiettiva è anche un esempio di [[compattificazione]]: similmente a quanto accade con la [[proiezione stereografica]], aggiungendo i punti all'infinito lo spazio diventa [[spazio compatto|compatto]], cioè "limitato", "finito".

[[File:Conics and cubic.svg|thumb|Varietà algebriche definite da alcuni semplici polinomi nel piano: due [[circonferenza|circonferenze]], una [[parabola (geometria)|parabola]], una [[iperbole (geometria)|iperbole]], una ''cubica'' (definita da un'equazione di terzo grado).]]

=== Varietà algebriche ===

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La geometria algebrica verte essenzialmente sullo studio dei [[polinomio|polinomi]] e delle loro [[radice (matematica)|radici]]: gli oggetti che tratta, chiamati [[varietà algebrica|varietà algebriche]], sono gli insiemi dello [[spazio proiettivo]], [[spazio affine|affine]] o [[spazio euclideo|euclideo]] definiti come luoghi di zeri di polinomi.

Nel [[XX secolo]] il concetto di varietà algebrica assume un'importanza sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nel [[campo (matematica)|campo]] dei [[numeri complessi]]: in questo caso, grazie al [[teorema fondamentale dell'algebra]], un polinomio ha sempre delle radici.

Questo fatto algebrico di grande importanza (esprimibile dicendo che i numeri complessi formano un [[campo algebricamente chiuso]]) ha come conseguenza la validità di alcuni teoremi potenti di carattere molto generale. Ad esempio, il [[teorema di Bézout]] asserisce che due curve di grado <math> d </math> e <math> d' </math> nel piano che non hanno componenti in comune si intersecano ''sempre'' in <math> dd' </math> punti, contanti con un'opportuna molteplicità. Questo risultato necessita che il "piano" sia proiettivo e complesso. In particolare, è certamente falso nell'ambito classico della geometria analitica: due circonferenze non devono intersecarsi necessariamente in 4 punti, possono anche essere disgiunte.