Distributività: differenze tra le versioni

Versione delle 04:17, 1 dic 2007

Versione delle 13:57, 5 dic 2007

Riga 3:

: 4 · (2 + 3) = (4 · 2) + (4 · 3)

Nel membro sinistro dell'equazione precedente, 4 moltiplica la somma di 2 e 3; nel membro destro, moltiplica il 2 e il 3 separatamente, e i risultati sono successivamente sommati.

Poiché questo porta alla stessa risposta finale (20), diciamo che la moltiplicazione per 4 si ''distribuisce'' sull'addizione di 2 e 3.

Dal momento che possiamo mettere qualsiasi [[numero reale]] al posto di 4, 2, e 3, e ottenere ancora un'equazione verificata, diciamo che la [[moltiplicazione]] di numeri reali è ''distribuiscedistributiva'' sullrispetto all'[[addizione]] di numeri reali.

==Definizione==

Riga 10:

Dato un [[insieme]] ''S'' e due [[operazione binaria|operazioni binarie]] * e + su ''S'', diciamo che

* l'operazione * è ''distributiva a sinistra'' surispetto all'operazione + se, dati gli elementi generici ''x'', ''y'', e ''z'' di ''S'',

::''x'' * (''y'' + ''z'') = (''x'' * ''y'') + (''x'' * ''z'');

* l'operazione * è ''distributiva a destra'' surispetto all'operazione + se, dati gli elementi generici ''x'', ''y'', e ''z'' di ''S'':

::(''y'' + ''z'') * ''x'' = (''y'' * ''x'') + (''z'' * ''x'');

* l'operazione * è ''distributiva'' surispetto all'operazione + se è sia distributiva a destra che distributiva a sinistra.

Si osservi che quando * è [[commutatività|commutativa]], allora le tre condizioni precedenti sono [[equivalenza logica|logicamente equivalenti]].

Riga 20:

==Esempi==

# La moltiplicazione fra [[numero|numeri]] è distributiva sullripetto all'addizione fra numeri per una larga classe di tipi di numeri, dai [[numero naturale|numeri naturali]] ai [[numero complesso|numeri complessi]] e [[numero cardinale|numeri cardinali]].

# La moltiplicazione dei [[numero ordinale (matematica)|numeri ordinali]], al contrario, è solo distributiva a sinistra, e non distributiva a destra.

# La [[moltiplicazione di matrici]] è distributiva sullarispetto alla [[somma di matrici]], anche se non è commutativa.

# L'[[unione (insiemistica)|unione]] di [[insieme|insiemi]] è distributiva sullrispetto all'[[intersezione (insiemistica)|intersezione]], e l'intersezione è distributiva sullrispetto all'unione. Inoltre l'intersezione è distributiva sullarispetto alla [[differenza simmetrica]].

# La [[disgiunzione logica]] ("or") è distributiva sullarispetto alla [[congiunzione logica]] ("and"), e la congiunzione è distributiva sullarispetto alla disgiunzione. Inoltre, la congiunzione è distributiva sullarispetto alla [[disgiunzione esclusiva]] ("xor").

# Per i [[numero reale|numeri reali]] (o per ogni [[insieme totalmente ordinato]]), l'operazione di massimo è distributiva sullrispetto all'operazione di minimo, e viceversa: max(''a'',min(''b'',''c'')) = min(max(''a'',''b''),max(''a'',''c'')) and min(''a'',max(''b'',''c'')) = max(min(''a'',''b''),min(''a'',''c'')).

# Per gli [[numero intero|interi]], il [[massimo comune divisore]] è distributivo rispetto al [[minimo comune multiplo]], e viceversa: M.C.D.(''a'',m.c.m.(''b'',''c'')) = m.c.m.(M.C.D.(''a'',''b''),M.C.D.(''a'',''c'')) e m.c.m.(''a'',M.C.D.(''b'',''c'')) = M.C.D.(m.c.m.(''a'',''b''),m.c.m.(''a'',''c'')).

# Per i numeri reali, l'addizione distribuisceè sulldistributiva rispetto all'operazione di massimo, e anche sullrispetto all'operazione di minimo: ''a'' + max(''b'',''c'') = max(''a''+''b'',''a''+''c'') e ''a'' + min(''b'',''c'') = min(''a''+''b'',''a''+''c'').

La distributività si trova spesso negli [[anello (algebra)|anelli]] e nei [[reticolo (matematica)#Distributività|reticoli distributivi]].

Un anello ha due operazioni binarie (chiamate comunemente "+" e "*"), e uno dei requisiti per un anello è che * distribuiscasia sudistributiva rispetto a +.

Molti tipi di numeri (esempio 1) e di matrici (esempio 3) formano anelli.

Un [[Reticolo (matematica)|reticolo]] è un altro tipo di [[struttura algebrica]] con due operazioni binarie, ^ e v.

Se una delle due operazioni (diciamo ^) distribuisceè sulldistributiva rispetto all'altra (v), allora anche v deve distribuireessere distributiva rispetto sua ^, e il reticolo è detto distributivo. Vedi anche [[distributività (teoria degli ordini)]].

Gli esempi 4 e 5 sono [[algebra booleana|algebre booleane]], che possono essere interpretate come un tipo particolare di anello (un [[anello booleano]]) oppure come un tipo particolare di reticolo distributivo (un [[reticolo booleano]]). Ciascuna interpretazione è responsabile di differenti leggi distributive nell'algebra booleana. Gli esempi 6 e 7 sono reticoli distributivi che non sono algebre booleane.