Algoritmo EM: differenze tra le versioni

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In [[statistica]], un '''algoritmo''' '''expectation–maximization''' ('''EM''')<ref>{{Cita pubblicazione|nome=A. P.|cognome=Dempster|nome2=N. M.|cognome2=Laird|nome3=D. B.|cognome3=Rubin|data=1977-09|titolo=Maximum Likelihood from Incomplete Data Via the EM Algorithm|rivista=Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological)|volume=39|numero=1|pp=1–22|accesso=2022-03-20|doi=10.1111/j.2517-6161.1977.tb01600.x|url=http://dx.doi.org/10.1111/j.2517-6161.1977.tb01600.x}}</ref> è un metodo iterativo per trovare [[Stima|stime]] (locali) di [[Metodo della massima verosimiglianza|massima verosimiglianza]] (o le stime [[maximum a posteriori]]) didei [[Parametro (statistica)|parametri]] di modelli statistici, in cui il modelloche dipendedipendono da [[Variabile casuale|variabili latenti]] (non osservate). L' iterazione di EM alterna l'esecuzione di un passo detto ''expectation'' (E), che crea una funzione per il valore atteso della ''log-likelihood'' calcolata usando la stima dei parametri corrente, e un passo detto ''maximization'' (M), che calcola inuove stime dei parametri massimizzando la [[Funzione di verosimiglianza|funzione di log-likelihood]] attesa trovata al passo ''E''. Tali stime didei parametri possono poi essere usate per determinare la distribuzione delle variabili latenti al prossimo passo E stepdell'iterata successiva.

== Descrizione ==

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:<math>L(\boldsymbol\theta; \mathbf{X}) = p(\mathbf{X}\mid\boldsymbol\theta) = \int p(\mathbf{X},\mathbf{Z} \mid \boldsymbol\theta) \, d\mathbf{Z} = \int p(\mathbf{X} \mid \mathbf{Z}, \boldsymbol\theta) p(\mathbf{Z} \mid \boldsymbol\theta) \, d\mathbf{Z} </math>

Tuttavia determinare questa quantità è spesso intrattabileimpossibile dato che <math>\mathbf{Z}</math> non è osservato e la sua distribuzione di <math>\mathbf{Z}</math> è sconosciuta prima di determinare <math>\boldsymbol\theta</math>.

L'algoritmo EM cerca di trovare la MLE della likelihood marginale eseguendo iterativamente questi passi:

:''Expectation step (E step)'': Definire <math>Q(\boldsymbol\theta\mid\boldsymbol\theta^{(t)})</math> come il valore atteso della funzione di log-likelihood per <math>\boldsymbol\theta</math>, rispetto alla distribuzione di probabilità condizionata corrente di <math>\mathbf{Z}</math> dati <math>\mathbf{X}</math> e le stime correnti dei parametri <math>\boldsymbol\theta^{(t)}</math>:

::<math>Q(\boldsymbol\theta\mid\boldsymbol\theta^{(t)}) = \operatorname{E}_{\mathbf{Z}\mid\mathbf{X},\boldsymbol\theta^{(t)}}\left[ \log L (\boldsymbol\theta; \mathbf{X},\mathbf{Z}) \right] \,</math>

:''Maximization step (M step)'': Trovare i parametri che massimizzino questa quantità:

:''Maximization step (M step)'': Trovare i parametri che massimizzino questa quantità:

::<math>\boldsymbol\theta^{(t+1)} = \underset{\boldsymbol\theta}{\operatorname{arg\,max}} \ Q(\boldsymbol\theta\mid\boldsymbol\theta^{(t)}) \, </math>

Tipici modelli cui si applica EM indicanodesignano con <math>\mathbf{Z}</math> la variabile latente che indica l'appartenenza a un gruppo in un insieme di gruppi:

I punti osservati <math>\mathbf{X}</math> possono essere discreti o continui a seconda che assumano valori da un dominio [[Insieme finito|finito]] (o [[Insieme infinito|infinito]] [[Insieme numerabile|numerabile]]) o infinito non numerabile. Si può associare a ogni punto un vettore di osservazioni.

I valori mancanti (e quindi le variabili latenti <math>\mathbf{Z}</math>) sono discreti, tratti da un numero prefissato di valori e con una variabile latente per ogni unità osservata.

I parametri sono continui e di due tipi: parametri associati a tutti i punti e parametri associati cona uno specifico valore di una variabile latente (ossia associati a tutti i punti con quel valore per la corrispondente variabile latente).

I punti osservati <math>\mathbf{X}</math> possono essere discreti o continui a seconda che assumano valori da un dominio finito (o infinito numerabile) o infinito non numerabile. Si può associare a ogni punto un vettore di osservazioni.

I valori mancanti (e quindi le variabili latenti <math>\mathbf{Z}</math>) sono discreti, tratti da un numero prefissato di valori e con una variabile latente per ogni unità osservata.

I parametri sono continui e di due tipi: parametri associati a tutti i punti e parametri associati con uno specifico valore di una variabile latente (ossia associati a tutti i punti con quel valore per la corrispondente variabile latente).

== Note ==