Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 20:06, 27 mar 2022

Versione delle 00:19, 28 mar 2022

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In [[matematica]], e in particolare nella [[teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel]] (ZF), il '''Teorema di Cantor''', sviluppato dall'omonimo matematico tedesco [[Georg Cantor]], afferma che per ogni insieme <math>A</math> di [[cardinalità]] arbitraria (finita o infinita), il suo [[insieme delle parti]] <math>\mathcal P(A)</math> ha cardinalità strettamente maggiore.

:<math>|\mathcal P(A)| > |A|</math>

La relazione che lega la cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math> con quella di <math>\mathcal P(A)</math> è espressa dalla disequazione <math>|A| < 2^{|A|}</math>.

Nel caso in cui <math>A</math> sia un insieme con cardinalità numerabile, sotto l'[[Ipotesi del continuo]], il suo l'insieme delle parti è un insieme con cardinalità non numerabile. Come conseguenza importante, si ha che l'insieme delle parti dei [[NumeroNumeri naturalenaturali|numeri naturali]] <math>\mathcal P(\N)</math>, (dove <math>\N</math> è un [[Insieme numerabile|infinito numerabile]] con cardinalità <math>\aleph_0 = \mathrm{card(|\N)}|</math>,) è un infinito non numerabile, con cardinalità uguale alla cardinalità dei [[Numero reale|numeri reali]] <math>\R</math>, spesso definitacioè comela [[cardinalità del continuo]].

Il teorema di Cantor ha avuto un impatto immediato e importante sulla [[filosofia della matematica]]. Ad esempio, nell'applicare iterativamente l'insieme delle parti di un insieme infinito e successivamente il teorema di Cantor, otteniamo una gerarchia infinita di cardinalità infinite, ognuna strettamente maggiore della precedente. Di conseguenza, il teorema implica che non esiste una cardinalità massima per un dato insieme, o equivalentemente, che i livelli gerarchici delle cardinalità infinite sono anch'essi infiniti.<ref>{{Cita libro|autore=Marco Bramanti|autore2=Pagani Carlo Domenico|autore3=Sandro Salsa|titolo=Analisi Matematica 1}}</ref>