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[[File:Correlazionedtcxx.gif|thumb|right|Immagine oscilloscopica di una funzione di correlazione simulata in laboratorio]]
==Applicazioni grafico numeriche==
Le applicazioni presuppongono che i segnali acustici da correlare, generati da un semovente navale (la sorgente), giungano ad un sistema ricevente di due sensori dai quali prelevare le rispettive tensioni elettriche dei segnali stessi <ref group="N"> Si tratta di un sistema ricevente composto da due idrofoni le cui uscite sono collegate ad un elaboratore che fornisce in uscita la funzione di correlazione che caratterizza l'applicazione</ref>.
=== Curva di correlazione analogica C = f(t) banda 0-F===
[[File:dtc15a.jpg|thumb|left|300px| C = f(F,t): Funzione di correlazione analogica in banda 0-F ]]
Si tratta di correlazione analogica <ref>{{cita | Del Turco | pp. 47 - 49}}.</ref> <math>C = f(t) </math>, normalizzata <ref group="N">La normalizzazione implica che il massimo di una funzione sia ad ampiezza 1 </ref>, in banda <math> 0-F </math> con <math>F </math> in <math> Hz</math>, tra due segnali con ritardo <math> tc \ in \ \mu s </math>. tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a F.scala <math> \ in \ \mu s </math>.
L'algoritmo di calcolo della funzione è:
<math>C(t) = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F \cdot ( t - tc) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F \cdot ( t - tc) } \right] \ \ \ </math>
Con questa serie di dati, ad esempio :
F = 13500 Hz
tc = 600 <math> \mu s </math>
Fondo scala <math> Fs = 1000 \ \mu s </math>. ( <math>50 \ \mu s </math> / div.)
si ottiene il grafico (asse x = tempo) della funzione di correlazione riportato in figura:
La curva mostra il massimo di correlazione alla 12^ divisione delle ascisse corrispondente a <math>600 \ \mu s </math> con <math> C = +1 </math> e profilo tondeggiante secondo <math>\sen x / x </math>.
La larghezza del lobo a <math>- 3 \ dB</math> è di <math>.31.8 \ \mu s </math>.
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di <math>.0.1</math> <ref group="N"> I lobi secondari sono le oscillazione positive della funzione di correlazione dopo i primi zeri</ref>.
===Curva di correlazione analogica C = f(t) banda F1-F2===
[[File:dtc15b.jpg|thumb|right|300px|C = f(F1,F2,t); funzione di correlazione analogica in banda F1-F2]]
Si tratta di correlazione analogica <ref>{{cita | Del Turco | pp. 47 - 49}}.</ref> <math>C = f(t) </math>, normalizzata <ref group="N">La normalizzazione implica che il massimo di una funzione sia ad ampiezza 1 </ref>, in banda <math> F1-F2 </math> con <math>F </math> in <math> Hz</math>, tra due segnali con ritardo <math> tc \ in \ \mu s </math>. tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a F.scala <math> \ in \ \mu s </math>.
L'algoritmo di calcolo della funzione è:
<math>C(t) = \left[ \frac { \sin \ ( 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot \{ t - tc \} ) \cdot \cos \ (2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot \{ t - tc \} ) } { (2 \cdot \pi \cdot DF \cdot \{ t - tc \} ) } \right] \ \ \ </math>
Dove:
<math> DF = (F2-F1)/2</math>
<math> Fo = (F1+F2)/2</math>
Con questa serie di dati ad esempio :
F1 = 500 Hz
F2= 4000 Hz
tc = 200 <math> \mu s </math>
Fondo scala Fs =1000 <math> \mu s </math> (50 <math> \mu s </math>/div)
si ottiene il grafico della funzione di correlazione di figura:
La curva mostra il massimo di correlazione alla 4^ divisione delle ascisse
corrispondente a <math>200 \ \mu s </math> con <math> C = +1</math> e profilo tondeggiante secondo <math> \sen x / x</math>.
La larghezza del lobo a <math>- 3 \ dB </math> è di <math>100 \ \mu s </math>
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di <math>0.01</math>
{{clear}}
=== Curva di correlazione analogica C(b) in banda 0-F===
[[File:dtc15c.jpg|thumb|left|300px|C = f(F,b,d); funzione di corr. analogica in banda 0-F ]]
Si tratta di correlazione analogica <ref>{{cita | Del Turco | pp. 287 - 291 }}</ref> <math>C = f(b) </math> normalizzata, in banda <math> 0-F </math> con <math> F \ in \ Hz </math>, tra due segnali che colpiscono una base con una inclinazione Brq <ref group="N"> Con la sigla Brq s'intende l'angolo formato tra l'asse del sistema ricevente e la direzione del bersaglio </ref> = (b°) in gradi, tracciata in un reticolo cartesiano con scala delle ascisse pari a Fondo scala (a°) in gradi; la lunghezza della Base d è espressa in metri <math> (m)</math>.
In questa sezione di calcolo la geometria del sistema ricevente invece del tempo prevede l'angolo <math>b </math> di puntamento con il max atteso per l'angolo <math> b</math>°; in questo esercizio le ascisse non sono dimensionate in tempo ma in gradi sessagesimali.
L'algoritmo di calcolo della funzione é:
<math>C(t) = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F \cdot ( tv - tb) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F \cdot ( tv - tb) } \right] \ \ \ </math>
dove:
<math> tv = m \sen b / 1530 </math> ( b = variabile indipendente)
<math> tb = m \sen b^o / 1530 </math> ( b° = direzione della sorgente)
Con questa serie di dati ad esempio:
F = 1000 Hz
Fondo scala = 40° (2°/div)
b° = 6°
Lunghezza base = 10 m
otteniamo il grafico della funzione di correlazione:
La curva mostra il massimo di correlazione alla 3^ divisione delle ascisse
corrispondente a <math>6</math>° con <math> C = +1 </math> e profilo tondeggiante secondo <math>\sen x / x.</math>
La larghezza del lobo a <math> - 3 \ dB </math> è di <math> 4</math>°
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di <math>0.13</math>
{{clear}}
===Curva di correlazione digitale C=f(t) in banda 0-F===
[[File:dtc15e.jpg|thumb|right|300px|C = f(F1,tc); funzione di corr. digitale in banda 0-F]]
Si tratta di correlazione digitale <ref>{{cita | Del Turco | pp. 55 - 56}}</ref> <math>C = f(t) </math> normalizzata, in banda <math>0-F </math> con <math>F</math> in <math> Hz</math>, tra due segnali con ritardo <math> tc \ in \ \mu s </math>. tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a "F.scala" <math> \ in \ \mu s </math>
L'algoritmo di calcolo è:
<math> C(t) = (2/ \pi) \ \arcsin \left [ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F \cdot ( t - tc) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F \cdot ( t - tc) } \right] \ \ \ </math>
Per queste variabili ad esempio :
F1 = 29000 Hz
tc = 200 microsec.
Fondo scala Fs = 500 <math> \mu s </math> (25 <math> \mu s </math>/ div.)
si ottiene il grafico della funzione di correlazione:
La curva mostra il massimo di correlazione alla 8^ divisione delle ascisse
corrispondente a 200 <math> \mu s </math> con <math>C = +1 </math> e profilo a cuspide secondo <math> \arcsin \ x / x.</math>
La larghezza del lobo a <math> - 3 \ dB </math> è di circa 5 <math> \mu s </math>.
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di <math>0.09</math>
===Curva di correlazione digitale in banda F1-F2===
[[File:dtc15f.jpg|thumb|left|300px|C = f(F1,F2,tc); funzione di corr. digitale in banda F1-F2]]
Si tratta di correlazione digitale <ref>{{cita | Del Turco | pp. 55 - 56}}</ref> <math>C = f(t) </math> normalizzata, in banda <math>F1-F2 </math> con <math>F</math> in <math> Hz</math>, tra due segnali con ritardo <math> tc \ in \ \mu s </math>. tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a "F.scala" <math> \ in \ \mu s </math>
L'algoritmo di calcolo è:
<math>C(t) = C(t) = (2/ \pi) \ \arcsin \left[ \frac { \sin \ ( 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot \{ t - tc \} ) \cdot \cos \ (2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot \{ t - tc \} ) } { (2 \cdot \pi \cdot DF \cdot \{ t - tc \} ) } \right] \ \ \ </math>
Dove:
<math> DF = (F2-F1)/2</math>
<math> Fo = (F1+F2)/2</math>
Con i dati ad esempio:
F1 = 500 Hz
F2 = 2000 Hz
Fondo scala Fs = 2000 <math> \mu s </math> . (100 <math> \mu s </math>. / div.)
tc = 1500 <math> \mu s </math>
si ottiene il grafico della funzione di correlazione:
La curva mostra il massimo di correlazione alla 15^ divisione delle ascisse
corrispondente a 1500 <math> \mu s </math>. con <math>C = +1 </math> e profilo a cuspide secondo <math> \arcsin \ x / x .</math>
La larghezza del lobo a <math>- 3 \ dB </math> è di <math>120 \ \mu s </math>.
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di <math>0.09</math>
===Curva di correlazione digitale C = f(t) in presenza dei due segnali e del [[rumore del mare]], in banda F1-F2===
[[File:dtc15g.jpg|thumb|right|300px|C = f(F1,F2,tc,s/n,rc); funzione di corr. digitale in banda F1-F2 ]]
In questo esercizio la funzione dipende,oltre che dal tempo, anche dal rapporto <math>s/n </math> (rapporto tra segnale e disturbo espresso in decibel) e dalla costante di tempo <math>rc </math> dell'integratore.
Il max è atteso al tempo <math> tc,</math> l'ampiezza di questo dipende da <math>s/n </math> , la varianza<ref>{{cita | Del Turco | pp. 158 - 165}}.</ref> da <math> rc.</math>
L'algoritmo di calcolo della funzione è:
<math>C(t) = (2 / \pi ) \arcsin K \cdot \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( t - tc ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( t - tc ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( t - tc ) ] } \right \} \ \ \ </math>
dove <math>K</math> è una variabile dipendente dal rapporto tra l'ampiezza del segnale <math>si</math> e l'ampiezza del disturbo <math>ni</math>:
<math> K = \left[ \frac { 1 } { 1 + (ni/si)^ 2 } \right] \ \ \ </math>
<math> DF = (F2-F1)/2</math>
<math> Fo = (F1+F2)/2</math>
con i dati d'esempio :
F1 = 300 Hz
F2 = 12400 Hz
Fondo scala = 800 <math> \mu s </math> ( 40 <math> \mu s </math>./div)
tc = 400 <math> \mu s </math>.
s/n= + 4 dB
rc = 0.1 s
fattore di scala y = 1
otteniamo il grafico della funzione di correlazione:
Si osservi che l'ampiezza della funzione C, a seguito del rapporto <math>s/n = + 4 \ dB </math> inserito a calcolo, si è ridotta da <math> 1 </math> a circa <math>0.5 </math> e il suo profilo si è modificato da una cuspide ad un andamento tondeggiante, lo spessore della traccia è indicativo della varianza d'uscita dal correlatore.
La curva mostra il massimo di correlazione alla 10^ divisione delle ascisse
corrispondente a <math> 400 \ \mu s </math>. con <math>C = +0.5 </math> e profilo secondo <math>\sen x / x </math> <ref group="N"> Si deve osservare che questo processo di correlazione è del tipo digitale e che l'andamento della cuspide ( arcsin x ) si trasfoma in sen x / x a causa della presenza del rumore. </ref>.
La larghezza del lobo a <math> - 3 \ dB </math> è di <math>40 \ \mu s </math>.
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di <math>0.06</math>
====Rilievo sperimentale ====
[[File:P165sndtc.jpg|thumb|left|400px| Segnale di un bersaglio scoperto dal sonar con le tecniche di correlazione: per <math> S/N = -14 \ db</math> ]]
L'effetto dell'alterazione della funzione di correlazione a causa del rumore sul segnale è mostrato nella fotografia rilevata in laboratorio su di un correlatore digitale per le condizioni:
<math>S/N = - 14 \ dB</math>
{{clear}}
===Curva di correlazione digitale con trasformata di Hilbert HC=f(t), in banda F1-F2 ===
[[File:dtc15h.jpg|thumb|right|300px|.HC = f(F1,F2,tc); funzione di anticorrelazione digitale in banda F1-F2]]
Si tratta di correlazione digitale <ref>{{cita | Del Turco | pp.177 -180 }}</ref> normalizzata con [[Collimazione sonar con la trasformata di Hilbert|trasformata di Hilbert]] <math>HC = f(t) </math>, in banda <math> F1-F2</math> in <math>Hz </math>, tra due segnali con ritardo <math> tc \ in \ \mu s </math>. tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a F.scala <math> \ in \ \mu s </math>.
Questa funzione dipende dal tempo e presenta uno zero dove le altre funzioni presentano il max ( trasf. di Hilbert ). Lo zero è atteso al tempo <math> tc.</math>
<math>C(t) = (2 / \pi ) \arcsin K \cdot \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( t - tc ) ] \cdot \sin \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( t - tc ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( t - tc ) ] } \right \} \ \ \ </math>
<math> K = \left[ \frac { 1 } { 1 + (ni/si)^ 2 } \right] \ \ \ </math>
<math> DF = (F2-F1)/2</math>
<math> Fo = (F1+F2)/2</math>
Con i dati d'esempio :
F1 = 5000 Hz
F2 = 14000 Hz
Fondo scala = <math> 400 \ \mu s </math>.(<math> 20 \ \mu s </math>/div.)
<math> tc = 200 \ \mu s </math>.
<math> k = 1 </math>.
otteniamo il grafico della funzione di anticorrelazione <ref group="N">la dizione anticorrelazione è stata coniata sul lavoro per intendere che questa funzione presenta al posto del massimo uno zero </ref>:
La curva mostra il passaggio per lo zero di correlazione alla 10^ divisione delle ascisse
corrispondente a 200 <math> \mu s </math>. con <math>C = 0</math>.
La pendenza attorno all'ascissa <math> x = 200 \ \mu s </math>. è di <math> 0.035 / 1 \ \mu s </math>.
==Tracciabilità delle curve==
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