Regressione Fama-MacBeth: differenze tra le versioni
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È sulla base dell'espressione sopra che risulta legittimo ricorrere a statistiche <math>t</math> di Student come quelle descritte nella Sezione precedente.
===Correlazione seriale===
In presenza di correlazione seriale dei termini di errore <math>\{\varepsilon_t\}_t</math>, la matrice varianza-covarianza dello stimatore di Fama-MacBeth deve essere modificata. La particolare forma della matrice varianza-covarianza dipenderà dalla forma di correlazione seriale ipotizzata; Cochrane (2003, cap. 12) propone un adattamento delle varianze dei coefficienti basato sull'ipotesi che i termini di errore seguano, per ogni impresa, un processo autoregressivo di primo ordine (AR(1)):
::<math>\varepsilon_{it}=\rho\varepsilon_{it-1}+u_{it},\ u_{it}\sim\ iid\ \mathcal{N}(0,\sigma^2_u)</math>
Sotto l'ipotesi sopra, si ha:
::<math>\sum_{j=-\infty}^{\infty}\mathrm{E}[\varepsilon_{it}\varepsilon_{it-j}]=\sigma^2\sum_{j=-\infty}^\infty\rho^{|j|}=\sigma^2\frac{1+\rho}{1-\rho}</math>
Ma allora:
::<math>\mathrm{E}\left[\left(\hat\beta_t-\beta\right)\left(\hat\beta_\tau-\beta\right)'\right]=(X_t'X_t)^{-1}X_t'\mathrm{E}(\varepsilon_t\varepsilon_\tau')X_\tau'(X_\tau'X_\tau)^{-1}\propto\sigma^2\frac{1+\rho}{1-\rho}</math>
In altre parole: la varianza di ciascun coefficiente del modello stimato deve essere moltiplicata per il fattore <math>\frac{1+\rho}{1-\rho}</math> al fine di tenere conto dell'autocorrelazione dei termini di errore. Dunque si dovrebbe procedere come segue: (i) stimare il modello secondo la procedure di Fama-MacBeth; (ii) stimare le varianze dei coefficienti; (iii) ottenere una stima di <math>\rho</math>, dalla serie dei coefficienti; (iv) moltiplicare le varianze dei coefficienti ottenute in (ii) per <math>\frac{1+\rho}{1-\rho}</math>; (v) calcolare le statistiche <math>t</math> sulla base delle varianze così moltiplicate.
L'approccio appena descritto gode di una qualche popolarità nella pratica recente. Petersen (2004) tuttavia lo critica, mostrando come sotto ipotesi generali sulla forma di correlazione che caratterizza il panel di dati oggetto di analisi la procedura di Cochrane (2003) spesso conduca a ritenere statisticamente significativi coefficienti che di fatto non lo sono.
==Applicazioni e variazioni==
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