Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 11:54, 4 ott 2005

Versione delle 10:17, 18 ott 2005

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#0 è un numero naturale

#il successore di un numero naturale è un numero naturale

#0 non è il successore di alcun numero naturale

#numeri diversi hanno successori diversi

#0 non è il successore di alcun numero naturale

#ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di tutti i suoi elementi coincide con l'intero insieme dei numeri naturali

</div>

In termini più precisi possiamo dire che la struttura data dalla terna <math>(\mathbb N, 0, S)</math> composta dall'[[insieme]] dei [[numeri naturali]] <math>\mathbb N</math>, lo [[zero]] e la [[funzione]] "successore" <math>S</math> può essere caratterizzata ''a meno di isomorfismi'' (in seguito sarà più chiaro in che senso) dai seguenti ''assiomi di Peano'':

I primi due assiomi ci dicono che abbiamo a che fare con un [[insieme]] <math>X</math> (i "numeri naturali") che contiene un elemento 'speciale' <math>x_0</math> (lo "zero") e che è [[dominio (matematica)|dominio]] e [[codominio]] di una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>S:X \rightarrow X</math> che associa ad un elemento di <math>X</math> un nuovo elemento chiamato "successore". Gli altri tre assiomi descrivono le proprietà di questa funzione "successore" in un modo che formalmente è il seguente:

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">

:(P1) <math>S(x)0 \neq x_0</math> per ogni <math>xin \inmathbb XN</math>

:(P2) <math>x \neqin y</math>\mathbb implicaN \Rightarrow <math>S(x) \neqin S(y)\mathbb N</math>

:(P3) se <math>Ux\neq y</math> è un sottoinsieme diimplica <math>XS(x)\neq S(y)</math> tale che:

::#(P4) <math>x_0S(x)\neq 0</math> per ogni <math>x \in U\mathbb N</math>

:(P5) se <math>U</math> è un sottoinsieme di <math>\mathbb N</math> tale che:

::# <math>0 \in U</math>

::# <math>x \in U</math> implica <math>S(x) \in U</math>

::allora <math>U=X\mathbb N</math>

</blockquote>

Il primo assioma ci dice che <math>0</math> è un elemento di <math>\mathbb N</math>, il secondo afferma che la funzione <math>S</math> ha l'insieme <math>\mathbb N</math> come [[dominio]] e [[codominio]], (P3) ci dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]], (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>. L'ultimo assioma di Peano è noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]], quello che ci dice è che l'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore'').

Chiaramente tali assiomi sono verificati se consideriamo <math>X=\mathbb N</math>, l'insieme dei numeri naturali, <math>x_0=0</math> e <math>S(x)=x+1</math>. Tuttavia possono essere verificati da altri [[modello (logica matematica)|modelli]], ad esempio se <math>X=\{2n: n \in N\}</math>, l'insieme dei numeri pari, <math>x_0=0</math> e <math>S(x)=x+2</math>. Questo significa che l'insieme dei numeri naturali con lo zero ed il successore ''non'' sono univocamente caratterizzati dagli assiomi (P1),(P2) e (P3). Quello che è importante tuttavia è che gli assiomi di Peano sono sufficienti a caratterizzare ''la struttura'' dei numeri naturali, cioè caratterizzano l'insieme a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]]. Questa proprietà degli assiomi viene chiamata [[categoricità]]. L'affermazione che gli assiomi di Peano sono ''categorici'' è nota nell'ambito della logica formale come [[Teorema di Categoricità]] per gli assiomi di Peano del [[secondo ordine]].

La struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math> '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi di Peano. Chiamiamo ''sistema di Peano'' qualunque terna <math>(X,x_0,s)</math> che soddisfa gli assiomi:

:(P1) <math>x_0 \in X</math>

:(P2) <math>x \in X \Rightarrow s(x) \in X</math>

:(P3) <math>x\neq y</math> implica <math>s(x)\neq s(y)</math>

:(P4) <math>s(x)\neq x_0</math> per ogni <math>x \in X</math>

:(P5) se <math>U</math> è un sottoinsieme di <math>X</math> tale che:

::# <math>x_0 \in U</math>

::# <math>x \in U</math> implica <math>s(x) \in U</math>

::allora <math>U=X</math>

Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>. Quello che è importante tuttavia è che tutti i sistemi di Peano sono "isomorfi" tra loro e quindi isomorfi al sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math>, il che equivale a dire che gli assiomi di Peano caratterizzano i numeri naturali a meno di ''isomorfismi''.

L'ultimo assioma di Peano è noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle dimostrazioni.

Esiste una versione più debole degli assiomi di Peano nell'ambito della [[logica dei predicati del primo ordine]] che viene generalmente chiamata con l'acronimo '''[[PA (matematica)|PA]]''' (Peano Arithmetic), ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] per la sua capacità di [[funzione/predicato rappresentabile|rappresentare]] tutte le [[funzione ricorsiva|funzioni ricorsive]] e per il fatto di essere la teoria più semplice per cui vale il [[teoremi di incompletezza di Gödel|teorema di Gödel]].

[[Categoria:Teoria degli insiemi]] [[Categoria:Teoria dei numeri]]