Geometria: differenze tra le versioni

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Versione delle 17:21, 30 dic 2023

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=== Varietà algebriche ===

{{vedi anche|Varietà algebrica}}

La [[geometria algebrica]] verte essenzialmente sullo studio dei [[polinomio|polinomi]] e delle loro [[radice (matematica)|radici]]: gli oggetti che tratta, chiamati [[varietà algebrica|varietà algebriche]], sono gli insiemi dello [[spazio proiettivo]], [[spazio affine|affine]] o [[spazio euclideo|euclideo]] definiti come luoghi di zeri di polinomi.

Nel [[XX secolo]] il concetto di varietà algebrica assume un'importanza sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nel [[campo (matematica)|campo]] dei [[numeri complessi]]: in questo caso, grazie al [[teorema fondamentale dell'algebra]], un polinomio ha sempre delle radici.

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La [[geometria differenziale]] è lo studio di oggetti geometrici tramite l'[[analisi matematica|analisi]]. Gli oggetti geometrici non sono necessariamente definiti da polinomi (come nella geometria algebrica), ma sono ad esempio [[curva (matematica)|curve]] e [[superficie (matematica)|superfici]], cioè oggetti che, visti localmente con una lente di ingrandimento, sembrano quasi rettilinei o piatti. Oggetti cioè "senza spessore", e magari un po' curvi. Come la superficie terrestre, che all'uomo sembra piatta, benché non lo sia.

Questo concetto di "spazio curvo" è espresso tramite la nozione di [[varietà differenziabile]]. La sua definizione non necessita neppure di "vivere" in uno spazio ambiente, ed è quindi usata ad esempio nella [[relatività generale]] per descrivere intrinsecamente la [[forma dell'universo]]. Una varietà può essere dotata di una proprietà fondamentale, la [[curvatura]], che viene misurata tramite oggetti matematici molto complessi, come il [[tensore di Riemann]]. Nel caso in cui lo spazio sia una curva o una superficie, questi oggetti matematici risultano più semplici: si parla ad esempio di [[curvatura gaussiana]] per le superfici.

Su una varietà dotata di curvatura, detta [[varietà riemanniana]], sono definite una [[distanza (matematica)|distanza]] fra punti, e le [[geodetica|geodetiche]]: queste sono curve che modellizzano i percorsi localmente più brevi, come le rette nel piano, o i [[meridiano (geografia)|meridiani]] sulla superficie terrestre.