Parte intera: differenze tra le versioni

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== Proprietà ==
Qualche proprietà della funzione parte intera.
* Si ha
::<math> \lfloor x \rfloor=\max\, \{k\in\mathbb{Z} : k\le x\},</math>
::<math> \lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1,</math>
:con l'uguaglianza nella parte sinistra che vale [[se e solo se]] <math>x</math> è un intero.
* La funzione parte intera è [[idempotenza|idempotente]]:
: :<math>\lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor.</math>.
* Per ogni intero <math>k</math> e ogni numero reale <math>x</math>,
::<math> \lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.</math>
* Per ogni numero reale <math>x</math> e ogni numero reale <math>y</math> reali,
::<math> \lfloor x+y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor x+y - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \rfloor.</math>
* Per ogni intero <math>k</math> e ogni numero reale <math>x</math>
::<math display="inline"> \lfloor kx \rfloor = k \lfloor x \rfloor + \lfloor kx - k\lfloor x \rfloor \rfloor.</math>
</math> .
* Per ogni numero reale non intero <math>x</math> si ha:
::<math>\lfloor -x\rfloor=-\lfloor x\rfloor-1, .</math>
* L'ordinario [[arrotondamento]] di un numero <math>x</math> all'intero più vicino può essere espresso come <math>\lfloor x + 0,5 \rfloor</math>.
* La funzione parte intera non è [[funzione continua|continua]], ma è [[funzione semi-continua|semi-continua]]. Essendo una [[funzione costante]] a tratti , la sua [[derivata]] è zero quando esiste, cioè per tutti i valori che non sono interi.
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== Parte intera superiore ==
[[File:Ceiling function.svg|thumb|right|La funzione ceiling]]
Una funzione strettamente correlata è la '''parte intera superiore''', nota anche come funzione '''ceiling''' (dalla parola [[lingua inglese|inglese]] ''ceiling'' che significa "soffitto", contrapposta a ''floor'', "pavimento"), definita nel modo seguente: per ogni numero reale <math>x</math>, ceiling(<math>x</math>) è il più piccolo intero non minore di <math>x</math>. Per esempio, ceiling(2,3) = 3, ceiling(2) = 2 e ceiling(−2,3) = -2. La funzione ceiling è anche indicata con <math>\lceil x \rceil</math>. È facile provare che
 
per ogni numero reale <math>x</math>,
ceiling(<math>x</math>) è il più piccolo intero non minore di <math>x</math>. Per esempio, ceiling(2,3) = 3,
ceiling(2) = 2 e ceiling(−2,3) = -2. La funzione ceiling è anche indicata con <math>\lceil x \rceil</math>.
È facile provare che
:<math>\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor</math>
 
e che
 
:<math>x \leqle \lceil x \rceil < x + 1.</math>
 
Se poi ''x'' non è un intero si ha
 
:<math>\lceil x\rceil-\lfloor x\rfloor=1.</math>
 
Per ogni intero ''k'', abbiamo anche che:
: <math>\lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k</math>.
 
: <math>\lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k.</math>.
Se ''m'' e ''n'' sono interi positivi [[interi coprimi|primi fra di loro]], allora
:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2</math>
 
Se ''m'' e ''n'' sono interi positivi [[interi coprimi|primi fra di loro]], allora
== In programmazione ==
 
:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2.</math>
 
== In programmazione ==
[[File:Int function.svg|thumb|right|L'operatore <code>(int)</code>]]
 
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== Distribuzione uniforme modulo 1 ==
Se <math>x</math> è un numero irrazionale, allora le parti frazionarie <math>nx \bmod 1</math>, dove <math>n</math> varia fra gli interi positivi, sono distribuite uniformemente nell'[[intervallo (matematica)|intervallo aperto]] <math>(0,1)</math>. Questa affermazione può essere resa più precisamente in molti modi, uno dei quali afferma:
 
:<math>\int_0^1 f(t)\; dt = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f(nx\bmod 1),</math>
 
per ogni [[funzione continua]] a [[numero reale|valori reali]] <math>f\colon [0,1]\to\mathbb{R}</math> (vedisi vedano [[limite (matematica)|limite]], [[integrale]] e [[teorema dell'equidistribuzione]]).
 
Seguendo il principio generale dell'[[approssimazione diofantea]] scoperto da [[Hermann Weyl]], questa proprietà è equivalente a qualcosa che è molto più facile da controllare: ossia che le somme
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per <math>k\in\mathbb{N}</math> sono [[O-grande|O(N)]]. Poiché sono [[progressione geometrica|progressioni geometriche]], questo può essere provato in maniera abbastanza diretta. La condizione che <math>x</math> sia irrazionale implica che
 
:<math>\sin (\pi k x) \ne 0.</math>
 
== Troncamento ==