Parità dello zero: differenze tra le versioni
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La scatola con 0 oggetti non ha oggetti rossi spaiati.<ref>Compare {{Cita|Lichtenberg|p. 535|1972}} Fig. 1</ref>]]
Zero è un numero, e i numeri sono usati per contare. Dato un insieme di oggetti, si usa un numero per indicare quanti oggetti ci sono. Zero è il conteggio ''nessun oggetto'', in termini più formali, è il numero di oggetti presenti in un [[insieme vuoto]]. Il concetto di parità viene utilizzato per fare dei gruppi di due oggetti. Se gli oggetti in un insieme possono essere divisi in gruppi da due, senza che rimanga nessun oggetto, allora il numero di oggetti iniziale è pari. Se un oggetto rimane, allora il numero di oggetti è dispari. L'insieme vuoto contiene zero gruppi da due, e nessun oggetto è lasciato fuori da questo raggruppamento, quindi zero è pari.<ref>{{cita|Lichtenberg, 1972|pp.
Queste idee possono essere illustrate disegnando oggetti a coppie. È difficile descrivere zero gruppi da due, o sottolineare la ''non esistenza'' di un oggetto rimasto, quindi è utile disegnare altri gruppi e confrontarli con zero. Ad esempio, in un gruppo di cinque oggetti, vi sono due coppie. Ancora più importante, c'è un oggetto residuo, quindi 5 è dispari. Nel gruppo di quattro oggetti, non c'è oggetto avanzato, quindi 4 è pari. Nel gruppo di un solo oggetto, non ci sono coppie, e c'è un oggetto avanzato, di conseguenza 1 è dispari. Nel gruppo di 0 oggetti, non c'è nessun oggetto avanzato, quindi 0 è pari.<ref>{{cita|Lichtenberg, 1972|pp.
C'è un'altra definizione concreta di numero pari: se gli oggetti in un insieme possono essere divisi in due gruppi di uguale dimensione, allora il numero di oggetti è pari. Questa definizione è equivalente alla prima. Anche in questo caso, lo 0 è pari perché l'insieme vuoto può essere diviso in due gruppi di elementi entrambi contenenti 0 elementi e di conseguenza uguali fra loro (0/2 = 0/2 = 0).
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:0 = (2 × 0 ) + 0
Fare una tabella di questi risultati rafforza l'immagine della retta dei numeri sopra riportata.<ref>{{cita|Lichtenberg, 1972|pp.
=== Definizione di numero pari ===
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== Contesti matematici ==
Innumerevoli risultati nella [[teoria dei numeri]] invocano il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] e le proprietà algebriche dei [[numeri pari]], quindi la scelta della definizione di numero pari ha conseguenze di vasta portata. Ad esempio, il fatto che i numeri positivi abbiano una [[fattorizzazione]] unica significa che si può determinare se un numero ha un numero pari o dispari di fattori primi distinti. Poiché 1 non è primo, né ha fattori primi, è un [[prodotto vuoto|prodotto di 0]] primi distinti, poiché 0 è un numero pari, 1 ha un numero pari di fattori primi distinti. Ciò implica che la [[funzione di Möbius]] assuma il valore μ(1) = 1, che è necessario affinché essa sia una [[funzione moltiplicativa]] e affinché la [[formula di inversione di Möbius]] funzioni.<ref>{{cita|Devlin, 1985|pp.
=== Zero non è dispari ===
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=== Teoria dei grafi ===
Un risultato classico della [[teoria dei grafi]] afferma che un [[grafo]] di ordine dispari ha sempre almeno un vertice pari (l'ordine di un grafo è il numero dei suoi vertici). (Già questa affermazione richiede che zero sia pari: il grafo vuoto ha ordine pari e un [[vertice isolato]] è pari.)<ref name=Berlinghoff>{{cita|Berlinghoff Grant Skrien, 2001}} Per i vertici isolati vedere p. 149; per i gruppi vedere p. 311.</ref> Per dimostrare l'affermazione si dimostra un'affermazione più ''forte'' che è più facilmente dimostrabile: ogni grafo di ordine dispari ha un numero dispari di vertici pari. Quest'ultima affermazione è spiegata da un'affermazione ancora più generale, nota come lemma delle strette di mano: qualsiasi grafo ha un numero pari di vertici di grado dispari.<ref>{{cita|Lovász Pelikán Vesztergombi, 2003|pp.
Il [[lemma di Sperner]] è un'applicazione più avanzata della stessa strategia. Il lemma afferma che un certo tipo di [[Grafo colorato|colorazione]] su una [[Triangolazione (matematica)|triangolazione]] di un [[simplesso]] ha un sottosimplesso che contiene tutti i colori della colorazione. Piuttosto che costruire direttamente una tale simplesso, è più conveniente dimostrare che esiste un numero dispari di tali sottosimplessi attraverso un processo di [[induzione]]. Una formulazione più forte del lemma spiega perché questo numero è dispari: esso naturalmente decresce come (''n'' + 1) + ''n'' se si considerano le due possibili orientazioni di un simplesso.
[[File:RecursiveEvenBipartite.svg|thumb|alt=A graph with 9 vertices, alternating colors, labeled by distance from the vertex on the left |Costruire una bipartizione]]
Un altro uso della proprietà di 0 di essere pari nella [[teoria dei grafi]] è il seguente. Un [[grafo bipartito]] è un grafo i cui vertici sono divisi in due colori tali che vertici adiacenti hanno colori differenti. Se un [[grafo connesso]] non ha [[Grafo#Percorsi, cammini e circuiti (cicli)|cicli]] dispari, allora è possibile costruire una bipartizione scegliendo un vertice base ''v'' e colorando ogni vertice nero o bianco a seconda se la sua distanza da ''v'' è pari o dispari. Poiché la distanza di ''v'' da se stesso è 0, e 0 è pari, il vertice base è colorato in modo diverso dai vertici ad esso adiacenti, cioè quelli che sono a distanza 1.<ref>{{cita|Anderson, 2001|p. 53}}; {{cita|Hartsfield Ringel, 2003|p. 28}}.</ref>
=== Alternanza fra pari e dispari ===
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* (''n'' + 1) è pari [[se e solo se]] ''n'' '''non''' è pari.
Questa definizione ha il vantaggio concettuale di basarsi solo sugli [[Assiomi di Peano|assiomi]] minimali dei [[numeri naturali]]: l'esistenza di 0 e l'esistenza del successore di un numero. Dunque, è utile per l'implementazione di sistemi logici al computer come [[Logical framework|LF]] e l{{'}}''[[Isabelle theorem prover]]''.<ref>{{cita|Lorentz, 1994|pp.
=== Geometria computazionale ===
[[File:RecursiveEvenPolygon.svg|left|thumb|alt=Non-convex polygon penetrated by an arrow, labeled 0 on the outside, 1 on the inside, 2 on the outside, ecc. |Test punto nel poligono]]
Il classico test del [[punto nel poligono]] della [[geometria computazionale]] utilizza le precedenti idee. Per determinare se un punto giace all'[[Parte interna|interno]] di un [[poligono]], si considera una [[semiretta]] dal punto all'[[Infinito (matematica)|infinito]] e si conta il numero di volte che la semiretta [[intersezione (insiemistica)|interseca]] il [[Frontiera (topologia)|bordo]] del poligono. Il numero di intersezioni è pari se e solo se il punto è esterno al poligono. Questo [[algoritmo]] funziona perché, se la semiretta non incrocia mai il poligono, allora il numero di intersezioni è 0, che è pari, e il punto è esterno. Ogni volta che la semiretta incrocia il poligono il numero di intersezioni si alterna tra pari e dispari e il punto tra interno ed esterno.<ref>{{cita|Wise, 2002|pp.
=== Algebra astratta ===
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Poiché gli interi pari formano un sottogruppo degli interi, essi [[partizione (teoria degli insiemi)|partizionano]] gli interi in [[Classe laterale|classi laterali]]. Queste classi laterali possono essere descritte come [[Relazione d'equivalenza|classi di equivalenza]] della seguente [[relazione di equivalenza]]: {{Tutto attaccato|''x'' ~ ''y''}} se {{Tutto attaccato|(''x'' − ''y'')}} è pari. Qui la proprietà di 0 di essere pari è direttamente manifestata come la [[relazione riflessiva|riflessività]] della [[relazione binaria]] ~.<ref>{{cita|Andrews, 1990|p. 100}}.</ref> Ci sono solo due classi laterali di questo sottogruppo (i numeri pari e i numeri dispari), così esso ha [[indice di un sottogruppo|indice]] 2.
Analogamente, il [[gruppo alternante]] è un sottogruppo di indice 2 del [[gruppo simmetrico]] su ''n'' oggetti. Gli elementi del gruppo alternante, dette [[Permutazione#Definizione|permutazioni pari]], sono i prodotti di un numero pari di [[Permutazione#Cicli|trasposizioni]]. La [[funzione identità]], che è un [[prodotto vuoto]] di trasposizioni, è una permutazione pari poiché 0 è pari ed è l'[[elemento neutro]] del gruppo.<ref>{{cita|Tabachnikova Smith, 2000|p. 99}}; {{cita|Anderson Feil, 2005|pp.
La regola "pari × intero = pari" significa che i numeri pari formano un [[Ideale (matematica)|ideale]] nell'[[Anello (algebra)|anello]] degli interi e la precedente [[relazione d'equivalenza]] può essere descritta come un'equivalenza [[Aritmetica modulare|modulo]] questo ideale. In particolare, gli interi pari, sono esattamente quegli interi ''k'' con {{Tutto attaccato|''k'' ≡ 0 (mod 2).}} Questa formulazione è utile per la ricerca delle [[Radice (matematica)|radici]] intere di un [[polinomio]].<ref>{{cita|Barbeau, 2003|p. 98}}.</ref>
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Questa seconda volta, il numero di bambini della stessa fascia di età che rispondevano che lo zero è pari scese al 32%.<ref>{{cita|Frobisher, 1999|p. 41}} "La percentuale di bambini del 2º anno che sceglievano che zero è un numero pari è molto più bassa che nel precedente studio, 32% rispetto al 45%"</ref> La percentuale di risposte corrette nel decidere se zero è pari inizialmente sale e poi rimane stabile intorno al 50% dai 7 ai 10 anni.<ref>{{cita|Frobisher, 1999|p. 41}} "Il successo nel decidere se zero è pari o no non continua a crescere con l'età, con circa un bambino su due, tra i 6 e gli 11 anni, che mette la crocetta nella casella 'pari'..."</ref> Come paragone, il più facile esercizio di identificare la parità di una sola cifra, aveva una percentuale di successo intorno all'85%.<ref>{{cita|Frobisher, 1999|pp. 40–42, 47}}; questi risultati derivano da uno studio effettuato nel febbraio del 1999, su 481 bambini, provenienti da tre scuole differenti con differenti livelli di apprendimento.</ref>
Nelle interviste, Frobisher stimolava il ragionamento degli studenti. Uno studente del 5º anno (9 anni) aveva deciso che 0 è pari perché si trovava nella [[Tabellina pitagorica|tabellina]] del 2. Uno studente del 4º anno (8 anni) si rese conto che 0 può essere diviso in parti uguali. Un altro studente del 4º anno aveva motivato la parità di 0 dicendo "1 è dispari e se vado giù [0] è pari".<ref>{{cita|Frobisher, 1999|p. 41}}, attribuito a "Jonathan"</ref> In un altro studio Annie Keth osservò una classe di 15 studenti del 2º anno in cui gli studenti si erano convinti l'un l'altro che 0 fosse un numero pari basandosi sull'alternanza fra pari e dispari e sulla possibilità di dividere in due parti uguali un insieme di zero cose.<ref>{{cita|Keith, 2006|pp.
==== Idee sbagliate degli studenti sulla parità di zero ====
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|Lo zero è speciale.
|}
Ricerche più approfondite furono condotte da Esther Levenson, Pessia Tsamir e Dina Tirosh, che intervistarono 2 studenti del 6º anno (prima media) che andavano molto bene alle loro lezioni di matematica. Uno studente preferiva utilizzare la teoria per dimostrare le affermazioni matematiche mentre l'altro preferiva utilizzare esempi pratici. Entrambi gli studenti all'inizio pensavano che 0 non fosse né pari né dispari per ragioni differenti. Levenson, Tsamir e Tirosh mostrarono come il ragionamento degli studenti rifletteva i loro concetti di zero e di divisione.<ref>{{cita|Levenson Tsamir Tirosh, 2007|pp.
[[Deborah Loewenberg Ball]] analizzò le idee di qualche studente appartenente al 3º anno (8 anni) a proposito dei numeri pari, dei numeri dispari e di 0 di cui avevano appena discusso con un gruppo di studenti del quarto anno (9 anni). Gli studenti avevano discusso la parità dello zero, le proprietà dei numeri pari e come venisse fatta la matematica. La questione dello zero assunse varie forme, come si può vedere nella lista qui a destra.<ref name=BallFig>{{cita|Ball Lewis Thames, 2008|p. 27}}, Figura 1.5 "Affermazioni matematiche sullo zero."</ref> Ball e i suoi altri colleghi sostennero che questo episodio dimostrava come gli studenti potessero "fare matematica a scuola", in opposizione alla comune riduzione della disciplina alla risoluzione meccanica di esercizi.
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=== Conoscenza degli insegnanti ===
Dei ricercatori di [[didattica della matematica]] all'Università del Michigan hanno incluso in una loro indagine un quiz vero falso con la seguente domanda "0 è un numero pari?" all'interno di un database di più di 250 domande progettato per misurare la conoscenza dei contenuti delle professoresse. Per loro la domanda rappresentava "cultura generale... che ogni adulto istruito dovrebbe avere"; inoltre considerarono la loro domanda "ideologicamente neutrale", poiché la sua risposta non sarebbe variata fra la matematica insegnata in modo [[tradizionale]] e la matematica insegnata con metodi innovativi. In uno studio svolto dal 2000 al 2004 su un campione di 700 professori delle elementari negli Stati Uniti, le performance generali su queste domande prevedettero in maniera significativa i risultati degli studenti in [[test standardizzati]] dopo aver partecipato alle lezioni dei professori.<ref>{{cita|Ball Hill Bass, 2005|pp.
==== Quanti professori hanno idee sbagliate sulla parità di zero? ====
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==== Effetti positivi conseguenti all'insegnare che zero è pari ====
Il fatto che 0 sia pari può aiutare a capire che, mentre il concetto di numero viene esteso dai soli numeri interi positivi a tutti gli interi, includendo 0 e i numeri negativi, anche le proprietà dei numeri come la parità vengono estese in modo non banale.<ref>Come concluso da {{cita|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|p. 93}}, citando {{Cita|Freudenthal|p. 460|1983}}.</ref>
== Cognizione numerica ==
[[File:Nuerk figure 4 bare.svg|thumb|alt=Numbers 0–8, repeated twice, in a complex arrangement; the 0s are on top, separated by a dotted line|Questo grafico mostra i tempi di reazione nel dire la parità delle cifre da uno a dieci. Più le cifre sono vicine fra loro meno tempo è necessario.<ref>{{cita|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|p. 851}}: "Si può osservare che zero differisce fortemente da tutti gli altri numeri indipendentemente dalla mano usata per rispondere. (Vedere la linea che separa zero dagli altri numeri.)"</ref>]]Anche gli adulti che credono che lo 0 sia pari, tuttavia, non sono familiari con questo concetto, fatto che diminuisce il loro [[tempo di reazione]] quando devono giudicare se un numero è pari o no. [[Stanislas Dehaene]], un pioniere nel campo della [[cognizione numerica]], ha condotto una serie di esperimenti di questo tipo nei primi anni 1990. Un numero in cifre o in lettere lampeggia su un [[Monitor (computer)|monitor]] che un soggetto sta guardando, e un [[computer]] registra il tempo necessario al soggetto per premere uno dei due pulsanti per identificare il numero come pari o dispari. I risultati hanno mostrato che per identificare 0 era necessario più tempo che per identificare un qualsiasi altro numero pari. Alcune varianti dell'esperimento hanno trovato ritardi lunghi fino a 60 [[Millisecondo|millisecondi]] o circa il 10% del tempo di reazione medio - una differenza piccola ma significativa.<ref>Vedi i dati in {{Cita|Dehaene|Bossini|Giraux|1993}}, e riassunti da {{cita|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|p. 837}}.</ref>
Gli esperimenti di Dehaene non erano stati progettati specificamente per indagare la parità dello 0, ma per confrontare modelli concorrenti di come l'informazione di parità venga elaborata ed estratta. Il modello più specifico, l'ipotesi dell'utilizzo del [[calcolo mentale]], suggerisce che la reazione a 0 deve essere veloce; 0 è un numero piccolo, ed è facile calcolare 0 × 2 = 0. (È stato notato che i soggetti dell'esperimento riescono a calcolare e dire il risultato della moltiplicazione per 0 più velocemente del risultato di una moltiplicazione per numeri diversi da 0, anche se sono più lenti a verificare i risultati proposti come 2 × 0 = 0.) I risultati degli esperimenti hanno suggerito che qualcosa di diverso stava accadendo: l'informazione di parità apparentemente era richiamata dalla memoria insieme a un gruppo di proprietà correlate, come l'essere [[numero primo|primo]] o una [[potenza di due]]. Sia la sequenza di potenze di 2 che la sequenza dei numeri positivi pari 2, 4, 6, 8,... sono categorie mentali ben distinte, i cui membri sono prototipicamente pari. Lo 0 non appartiene a nessuna lista, quindi le risposte erano più lente.<ref>{{cita|Dehaene Bossini Giraux, 1993|pp.
Ripetuti esperimenti hanno mostrato un ritardo in 0 per soggetti di diversa età, nazione e conoscenze linguistiche, messi a guardare numeri in cifre, detti lettera per lettera e detti lettera per lettera in uno specchio. Il gruppo di Dehaene ha trovato un fattore di differenziazione: la competenza matematica. In uno dei loro esperimenti, gli studenti della [[École normale supérieure]] sono stati divisi in due gruppi: quelli impegnati in studi letterari e quelli impegnati a studiare matematica, fisica o biologia. Il rallentamento nel definire la parità dello 0 è stato "trovato sostanzialmente nel primo gruppo [letterario]", e infatti, "prima dell'esperimento, alcuni soggetti [letterari] non erano sicuri se 0 fosse pari o dispari e la sua parità doveva essere ricordata dalla definizione matematica".<ref>{{cita|Dehaene Bossini Giraux, 1993|pp.
Questa forte dipendenza del tempo di risposta con la familiarità mina nuovamente l'ipotesi di calcolo mentale.<ref>{{cita|Dehaene Bossini Giraux, 1993|p. 376}} "In un qualche senso intuitivo, la nozione di parità è familiare solo per i numeri più grandi di 2. Infatti, prima dell'esperimento, dei soggetti [L] non erano certi sul fatto che 0 fosse pari o dispari e lo [che è pari] hanno dovuto ricavare dalla definizione di pari. La prova, in breve, suggerisce che [la parità] invece di essere calcolata sul momento usando il criterio di divisibilità per due, l'informazione di parità è presa dalla memoria insieme a un numero e alle sue altre proprietà... Se si accede a una memoria semantica quando si decide se un numero è pari o dispari, allora le differenze fra gli individui dovrebbero essere trovate a seconda della familiarità dei soggetti con i concetti dei numeri."</ref> L'effetto suggerisce anche che non è opportuno includere lo 0 in esperimenti in cui i numeri pari e dispari sono confrontati come gruppo. Come uno studio dice, "La maggior parte dei ricercatori sembrano concordare sul fatto che lo 0 non è un tipico numero pari e non deve essere indagato come parte della linea dei numeri mentale".<ref>{{cita|Nuerk Iversen Willmes, 2004|pp. 838, 860–861}}.</ref>
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Intorno al 2000, i media hanno notato un paio di pietre miliari insolite: la data "19/11/1999" è stata l'ultima [[data]] del [[calendario]] composta solo da cifre dispari che si sarebbe verificata per un tempo molto lungo e che la data "02/02/2000" sarebbe stata la prima data formata da solo cifre pari dopo molto tempo.<ref>{{cita|Steinberg, 1999}}; {{cita|Siegel, 1999}}; {{cita|Stingl, 2006}}</ref> Poiché questi risultati fanno uso del fatto che 0 è pari, alcuni lettori furono in disaccordo con l'idea.<ref>{{cita|Sones Sones, 2002}} "Segue che zero è pari e che 2/20/2000 risolve senza problemi il 'mistero'. Sì, è sempre sorprendente quante persone sono infastidite dal dire che zero è pari..."; {{cita|Column 8 readers|2006a}} "'...secondo i matematici, il numero zero, insieme ai numeri negativi e alle frazioni, non è né pari né dispari,' scrive Etan..."; {{cita|Column 8 readers|2006b}} "'Io sono d'accordo sul fatto che zero sia pari, ma il Professor Bunder lo vuole 'dimostrare' affermando che 0 = 2 x 0? Secondo questa logica (da un 'laureato' in logica matematica, niente meno), poiché 0 = 1 x 0, 0 è anche dispari!' Il professore controbatterà a questo, logicamente, egli ha delle motivazioni sensate per farlo, ma forse noi stiamo considerando questo argomento un po' troppo alla leggera..."</ref>
Nei [[test standardizzati]], se una domanda riguarda il comportamento dei numeri pari, potrebbe essere necessario tenere a mente che 0 è pari.<ref>{{cita|Kaplan Staff, 2004|p. 227}}.</ref> Delle pubblicazioni ufficiali relative al [[GMAT]] e al [[Graduate Record Examination|GRE]] test sia stato che 0 sia pari.<ref>{{cita|Graduate Management Admission Council, 2005|pp. 108, 295–297}}; {{cita|Educational Testing Service, 2009|p. 1}}.</ref>
Il fatto che 0 sia pari è rilevante nella suddivisione fra pari e dispari con cui le automobili possono guidare o acquistare la [[benzina]] a giorni alterni, secondo la parità dell'ultima cifra nelle loro [[Targa automobilistica|targhe]]. Metà dei numeri in un dato intervallo terminano in 0, 2, 4, 6, 8 e l'altra metà in 1, 3, 5, 7, 9, quindi ha senso includere 0 con i numeri pari. Tuttavia, nel 1977, un sistema di razionamento [[Parigi]] portò alla confusione. Durante un giorno per soli numeri dispari, la polizia evitò di multare i conducenti le cui targhe terminavano con 0, perché i guidatori non sapevano se 0 fosse pari.<ref>{{cita|Arsham, 2002}}; Questa affermazione è attribuita al broadcast ''[[heute]]'' del primo di ottobre, 1977. Il racconto di Arsham è ripetuto da {{Cita|Crumpacker|p. 165|2007}}.</ref> Per evitare tale confusione, la legislazione pertinente a volte ribadisce che lo 0 è pari, tali leggi sono state approvate nel [[Nuovo Galles del Sud]]<ref>{{cita|Sones Sones, 2002}} "Il matematico di stato Penn George Andrews, che si riferisce a un partizionamento del gas in Australia... Poi qualcuno nel parlamento del Nuovo Galles del Sud affermò che in questo razionamento le targhe terminanti in zero non avrebbero mai potuto ottenere del gas, perché 'zero non è né dispari né pari'. Quindi il parlamento del Nuovo Galles del Sud emise una legge per cui '''inerentemente al razionamento del gas''', lo zero è pari!'"</ref> e [[Maryland]].<ref>Una specifica di legge del 1980 in Maryland, "(a)Nei giorni pari la benzina potrà essere comprata solo dai guidatori i cui veicoli con targhe personalizzate non hanno numeri o i cui veicoli le cui targhe standard terminano con numeri pari. Questo non deve includere le targhe dei radioamatori. '''Lo zero è pari'''; (b) Nei giorni dispari..." quotazione parziale presa da {{Cita pubblicazione|autore=Department of Legislative Reference |anno=1974 |titolo=Laws of the State of Maryland, Volume 2 |p=3236 |url=http://books.google.com/books?q=%22ham+radio+operator+plates.+Zero+is+an+even+number%22 |accesso=2 giugno 2013}}</ref>
Sulle navi della US Navy, gli scomparti contrassegnati da numeri pari si trovano sul lato sinistro, ma lo zero è riservato per i comparti che intersecano la linea di mezzeria. Cioè, i numeri da sinistra a destra erano nel seguente ordine: 6-4-2-0-1-3-5.<ref>{{cita|Cutler, 2008|pp.
Nel gioco della [[Roulette]], il numero 0 non conta come pari o dispari, dando al [[Casinò]] un vantaggio su tali scommesse.<ref>{{cita|Brisman, 2004|p. 153}}.</ref> Allo stesso modo, la parità di zero può influenzare la [[percentuale di restituzione]] nei giochi d'azzardo quando il risultato dipende dal fatto che un certo [[numero casuale]] sia pari o dispari e il numero risulta essere uguale a zero.<ref>{{cita|Smock, 2006}}; {{cita|Hohmann, 2007}}; {{cita|Turner, 1996}}</ref>
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