Algebra di Boole: differenze tra le versioni

Versione delle 22:41, 20 giu 2024

Versione delle 17:19, 29 set 2024

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== Descrizione ==

Le operazioni fondamentali non sono [[addizione]] e [[sottrazione]] ma gli [[connettivo logico|operatori logici]]: la congiunzione o prodotto logico, indicata con ∧ oppure [[Algebra di Boole#AND|AND]];, la disgiunzione o somma logica, indicata con ∨ oppure [[Algebra di Boole#OR|OR]];, e la negazione o complementazione, indicata con ¬ oppure [[Algebra di Boole#NOT|NOT]]. Con tale formalismo si possono descrivere le relazioni logiche in modo simile a quanto fa l'algebra ordinaria con le relazioni numeriche: la combinazione di AND, OR e NOT permette di sviluppare qualsiasi [[Algebra di Boole#Funzioni booleane|funzione booleana]] e i tre operatori logici formano pertanto un ''insieme funzionalmente completo''.

== Definizione formale ==

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=== Convoluzione ===

Negando due volte lo stesso elemento, si ottiene l'elemento stesso (logica [[Aristotelismo|aristotelica]]: una doppia negazione corrisponde a un'affermazione).

Per dimostrarlo, basta considerare l'assioma di esistenza del complemento considerato su due elementi ''a'' e ''b=!a'':

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=== NOT ===

{{vedi anche|Invertitore}}

L'operatore NOT restituisce il valore inverso a quello in entrata. Una concatenazione di NOT è semplificabile con un solo NOT in caso il numero di ripetizioni sia dispari o con nessuno nel caso il numero di ripetizioni sia pari. Inoltre la porta logica NOT possiedetratta una sola variabile binaria.

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=== Buffer ===

Buffer è la negazione del risultato dell'operazione NOT;, restituiscepertanto ilrestituisce valore uguale a quello in entrata. Il Buffer non è un vero e proprio operatore, poiché in realtà non manipola l'informazione che riceve, bensì la lascia passare invariata; il Buffer dunque è semplificabile con un collegamento privo di operatori.

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composta da un NOT in serie a un altro NOT.

La ragione per cui si parla di questo "pseudo-operatore"elemento che non modifica il valore in ingresso è data da questioni di ''sincronia dei segnali'': quando si tratta di circuiti e reti logiche in modo più approfondito si rende necessario considerare anche il tempo in cui il segnale arriva, epertanto l'elemento ''buffer'' viene interpretato in questi casi come un ritardo applicato a un certo segnale.

=== AND ===

L'operazione AND restituisce come valore 1 se e solo se tutti gli elementi hanno valore 1, mentre restituisce 0 in tutti gli altri casi, come ad esempio quando una porta è alta mentre le altre sono basse e può essere messa in serie. Tale operazione è anche detta prodotto logico. Di seguito la tabella rappresenta l'operatore AND nel caso di due entrate, ma la definizione data ora è generalizzata a ''n'' ingressi:

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<math> p_1 \wedge (p_2 \wedge (p_3 \wedge p_4))</math>

Nei [[circuito digitale|circuiti digitali]], la porta logica AND è un meccanismo comune per avere un segnale di vero [[se e solo se]] un certo numero di altri segnali sono tutti veri.

Nella [[teoria degli insiemi]] corrisponde all'[[Intersezione (insiemistica)|intersezione]].