Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 13:32, 18 ott 2005

Versione delle 14:12, 18 ott 2005

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{{stub matematica}}

Gli '''Assiomi di Peano''' sono un gruppo di [[Assioma (matematica)|assiomi]] ideati dal matematico [[Giuseppe Peano]] al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei i [[numeri naturali]].

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== Significato matematico degli assiomi ==

In termini più precisi possiamo dire che la struttura data dalla terna <math>(\mathbb N, 0, S)</math> composta dall'[[insieme]] dei [[numeri naturali]] <math>\mathbb N</math>, lo [[zero]] e la [[funzione]] "successore" <math>S</math> può essere caratterizzata ''a meno di isomorfismi'' (in seguito sarà più chiaro in che senso) dai seguenti ''assiomi di Peano'':

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Il primo assioma ci dice che l'insieme <math>\mathbb N</math> non è vuoto specificandone un elemento (<math>0</math>), il secondo afferma che esiste una funzione <math>S</math> (la ''funzione successore'') con l'insieme <math>\mathbb N</math> come [[dominio]] e [[codominio]]. L'assioma (P3) ci dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]], questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da <math>0</math> e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare su un elemento già visitato e rimanere confinati in un loop (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compie un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con i precedenti esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi. L'ultimo assioma di Peano è noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]]: quello che ci dice è che l'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore''). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.

== Generalizzazioni ==

La struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math> '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi di Peano. Chiamiamo ''sistema di Peano'' qualunque terna <math>(X,x_0,s)</math> che soddisfa gli assiomi: