Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 14:54, 18 ott 2005

Versione delle 14:56, 18 ott 2005

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* (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compie un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.

* (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]]: quello che ci dice è che l'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore''). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.

Può essere istruttivo presentare delle terne <math>(\mathbb X, 0, S)</math> dove uno degli assiomi di Peano non venga soddisfatto e <math>\mathbb X\!</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>\mathbb X\!</math> l'insieme vuoto; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

* Eliminando (P3), un modello possibile potrebbe essere quello dove <math>\mathbb X\!</math> è composto da <math>\{0,1\}</math>, e S è la funzione che manda n in <math>\max(n,1)</math>.

* Eliminando (P4), gli interi modulo <math>m</math>, con la funzione successore data da <math>n+1</math> (mod <math>m</math>), danno un esempio pratico.

* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i razionali positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, lasciando come funzione successore l'usuale <math>n+1</math>.

== Generalizzazioni ==

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:...<br>

:<math>n \mapsto s(...s(s(x_0))</math> con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<br>

Può essere istruttivo presentare delle terne <math>(\mathbb X, 0x_0, S)</math> dove uno degli assiomi di Peano non venga soddisfatto e <math>\mathbb X\!</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>\mathbb X\!</math> l'insieme vuoto; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

* Eliminando (P3), un modello possibile potrebbe essere quello dove <math>\mathbb X\!</math> è composto da <math>\{0,1\}</math>, e S è la funzione che manda n in <math>\max(n,1)</math>.

* Eliminando (P4), gli interi modulo <math>m</math>, con la funzione successore data da <math>n+1</math> (mod <math>m</math>), danno un esempio pratico.

* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i razionali positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, lasciando come funzione successore l'usuale <math>n+1</math>.

Esiste una versione più debole degli assiomi di Peano nell'ambito della [[logica dei predicati del primo ordine]] che viene generalmente chiamata con l'acronimo '''[[PA (matematica)|PA]]''' (Peano Arithmetic), ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] per la sua capacità di [[funzione/predicato rappresentabile|rappresentare]] tutte le [[funzione ricorsiva|funzioni ricorsive]] e per il fatto di essere la teoria più semplice per cui vale il [[teoremi di incompletezza di Gödel|teorema di Gödel]].