Assiomi di Peano: differenze tra le versioni
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m →Modelli non di Peano: fatto anche P2 |
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Può essere istruttivo presentare delle terne <math>(X, x_0, S)</math> dove uno degli assiomi di Peano non venga soddisfatto e <math>X</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:
* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>X</math> l'insieme vuoto; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.
* Eliminando {P2), abbiamo un modello dove 0 e S restano le stesse, ma <math>X</math> è dato dai numeri minori di 10, e quindi il codominio di S è dato da <math>X \cup 10</math>.
* Eliminando (P3), un modello possibile potrebbe essere quello dove <math>X</math> è composto da <math>\{0,1\}</math>, e S è la funzione che manda n in <math>\max(n,1)</math>.
* Eliminando (P4), gli interi modulo <math>m</math>, con la funzione successore data da <math>n+1</math> (mod <math>m</math>), danno un esempio pratico.
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