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[[Immagine:Latex_integers.svg|miniatura|Il simbolo dell'insieme dei numeri interi]]
I '''numeri interi''' (o '''numeri interi relativi''') o,è semplicemente,un '''numerinumero relativi''')che corrispondonocontiene all'[[insieme]] ottenuto unendo idei [[numero naturale|numeri naturali]] (0, 1, 2, ...) e i [[Numero negativo|numeri interi naturali negativi]] (−1, −2, −3,...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. Questo insieme in [[matematica]] viene indicato con '''Z''' o <math>\Z</math>, perché è la lettera iniziale di “''Zahl''” che in [[lingua tedesca|tedesco]] significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi).
Gli numeri interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di [[numeri naturali]]. I numeri interi possono essere sommatisommare, sottrattisottrare e moltiplicatimoltiplicare e il risultato rimane sempre un numero intero. L'inversoIl dicontrario undel numero intero non è però un intero in generale, ma un [[numero razionale]]; formalmente questo fatto si esprime dicendo che <math>\Z</math> è un [[anello commutativo]] [[Anello unitario|unitario]], ma non un [[Campo (matematica)|campo]].
== Proprietà algebriche ==
Come iI numeri naturali, <math>\Z</math> è ''chiuso'' rispetto alle [[operazione binaria|operazioni]] di [[addizione]] e di [[moltiplicazione]], cioè la somma o il prodotto di due numeri interi è sempre un interonumerointero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, <math>\Z</math> (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di [[sottrazione]]: se <math>a</math> e <math>b</math> sono interi, anche <math>a-b</math> lo è. Tuttavia, ma <math>\Z</math> non è chiuso sottorispettp lall'operazione di [[divisione (matematica)|divisione]], poiché il quoziente di due interi (peres: esempio <math>1/:2</math>) non è necessariamente un numero intero, ma un numero raziale cioè 0.5.
La tabella seguente elenca alcune dellecinque proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>.
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=== Gruppo ===
Nel linguaggio dell'[[algebra astratta]], le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che <math>\Z</math> è un [[gruppo abeliano]] con l'operazione ''somma''. In particolare, il gruppo <math>\Z</math> è un [[gruppo ciclico]], poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte <math>1 + 1 + \ldots + 1</math> oppure <math>(-1) + (-1) + \ldots + (-1)</math>. Il gruppo <math>\Z</math> è l{{'}}''unico'' |gruppo ciclico infinito]], nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è [[isomorfismo|isomorfo]] a <math>\Z</math>., poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte :
es: <math>1 + 1 + \ldots + 1</math> oppure <math>(-1) + (-1) + \ldots + (-1)</math>.
=== Anello ===
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