Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 20:11, 18 ott 2005

Versione delle 22:33, 18 ott 2005

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== Gli assiomi di Peano sono "ridondanti"? ==

Un'altra domanda che ci si possiamo porre è se gli assiomi di Peano possano essere "ridondanti", se cioè qualcuno di essi sia dimostrabile a partire dagli altri. La risposta è no: non c'è alcuna ridondanza. QuestoLo èsi possibilepuò dimostrarlodimostrare esibendo delle terne <math>(X, x_0, S)</math> dove uno degli assiomi di Peano non venga soddisfatto e <math>X</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>X</math> l'insieme vuoto; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

* Eliminando (P2), abbiamo un modello dove <math>0</math> e <math>S</math> restano le stesse, ma <math>X=\{0,1,2,3,4,5\}</math> è dato dai numeri minori di <math>6</math>, e quindi il codominio di <math>S</math> è dato da <math>X \cup \{6\}</math>. E'È da notare che in questo caso (P5) è verificato, perchèperché non esiste nessun sottoinsieme di <math>X</math> che contenga lo <math>0</math> e che sia chiuso rispetto ad <math>S</math>.

* Eliminando (P3), un modello possibile potrebbe essereè quello dove <math>X</math> è composto da <math>\{0,1\}</math>, e S è la funzione che manda <math>n</math> in <math>\max(n,1)</math>.

* Eliminando (P4), le [[classe di resto|classi di resto]] modulo <math>m</math>, con la funzione successore data da <math>n \mapsto n+1</math> (mod <math>m</math>), danno un esempio pratico.

* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i razionali positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, mantenendo <math>0</math> e lasciando come funzione successore l'usuale <math>n \mapsto n+1</math>.

== Ruolo nella [[logica matematica]] ==