Formulazione debole: differenze tra le versioni
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==Descrizione generale==
L'idea di fondo delle formulazioni deboli è quella che portò anche all'introduzione in matematica delle [[Distribuzione (matematica)|distribuzioni]], o "funzioni generalizzate": si tratta di [[Funzionale lineare|funzionali lineari]] definiti sullo [[spazio di funzioni]] costituito dalle funzioni dette [[Funzione di test|funzioni di test]]. Lo spazio delle distribuzioni è lo [[spazio duale]] di quello delle funzioni di test. Si tratta di funzioni in un senso più generale: alcune distribuzioni, se viste come ''funzioni'', possono anche non avere alcun corrispettivo nell'analisi tradizionale (si
Presa un'equazione, per trovare una soluzione debole si procede generalmente col moltiplicare ambo i termini per una funzione test <math>\varphi</math>, e di integrare poi entrambi i membri su tutto il dominio di interesse. Dopodiché si "scaricano" le derivate (integrando per parti) dalla funzione <math>u</math> sulla funzione test <math>\varphi</math> quanto basta per poter richiedere la minor regolarità possibile sia a <math>u</math> che a <math>\varphi</math>. Per poter effettuare le integrazioni è necessario che sia <math>u</math> che <math>\varphi</math> stiano almeno in <math>L^2</math> (altrimenti l'integrale non ha senso); inoltre per poter integrare anche i prodotti tra le derivate occorre che stiano anche nello [[spazio di Sobolev]] <math>H^k</math>, dove <math>k</math> indica il massimo ordine di derivazione che compare dopo aver scaricato le derivate di <math>u</math> su <math>\varphi</math>. Si consideri dunque un [[operatore differenziale]] [[trasformazione lineare|lineare]] in un insieme aperto <math>W</math> in <math>\R^n</math>:
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