Base (algebra lineare): differenze tra le versioni
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Dimostrazione, tramite il lemma di Zorn, dell'esistenza di una base per ogni spazio vettoriale. |
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Qualsiasi sia lo spazio vettoriale <math>V</math>, è sempre possibile trovarne una base. La dimostrazione richiede l'uso del [[lemma di Zorn]] nel caso generale, mentre nel caso particolare degli spazi finitamente generati esistono dimostrazioni più semplici.
Si proverà che ogni [[spazio vettoriale]] ha una [[Base vettoriale|base]], cioè ogni spazio vettoriale ha un insieme massimale [[Linearmente indipendenti|linearmente indipendente]]. Sia <math>V</math> uno spazio vettoriale su un [[Campo (matematica)|campo]] <math>\mathbb{K}</math>, <math>\{ v_0,v_1,v_2,\dots,v_n \} \subseteq V</math> è linearmente indipendente se <math>a_0v_0+a_1v_1+\dots+a_nv_n=0 \iff a_i=0, \forall i=0,1,\dots,n</math>, con <math>a_i \in \mathbb{K}, \forall i=0,1,\dots,n</math>. Se si considera <math>U \subseteq V</math>, non necessariamente [[Insieme finito|finito]], <math>U</math> è linearmente indipendente se ogni [[sottoinsieme]] finito di <math>U</math> è linearmente indipendente.
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