Numerosità: differenze tra le versioni

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La teoria delle '''numerosità''' per insiemi infiniti è stata introdotta dal matematico italiano [[Vieri Benci]] nel 1995, e successivamente sviluppata insieme ai suoi collaboratori Mauro Di Nasso e Marco Forti, come raffinamento della nozione di [[cardinalità]] introdotta da [[Georg Cantor]]. Mentre la cardinalità classica di Cantor classifica gli insiemi in base all’esistenza di una [[corrispondenza biunivoca]] con altri insiemi (definendo per esempio <math>\aleph_0</math> per i numerabili, <math>\aleph_1</math> e così via per gli infiniti di maggior “taglia”), l’idea di numerosità mira a fornire un punto di vista diverso, collegandosi alla V nozione comune di Euclide "L'intero è maggiore della parte". Questa impostazione porta in modo naturale a considerare come numerosità i numeri ipernaturali dell'analisi non standard.<ref>{{Cita web|lingua=en|url=https://plato.stanford.edu/entrieS/infinity/numerosities.html|titolo=Theories of Numerosities (Stanford Encyclopedia of Philosophy)| Theories of Numerosities (Stanford Encyclopedia of Philosophy)|sito=plato.stanford.edu|accesso=2025-01-15}}</ref>

In breve, nella teoria delle numerosità si associa ad ogni insieme infinito un valore numerico che rispecchi la sua “quantità di elementi” in modo più diretto, senza fare ricorso unicamente alle corrispondenze biunivoche<ref name="Benci0">Benci, V. (1995). "I Numeri e gli Insiemi Etichettati", Laterza, Bari, Italia. Conferenze del seminario di matematica dell' Università di Bari, vol. 261, pp. 29</ref><ref name="Benci1">Benci, V.; Di Nasso, M. (2003). "Numerosity of labelled sets: a new way of counting". ''Advances in Mathematics'' 173: 50–67</ref><ref name="Benci2">Benci, V.; Di Nasso, M.; Forti, M. (2006). "An Aristotelian notion of size". ''Annals of Pure and Applied Logic'' 143:1–3, 43–53</ref><ref name="Benci3">Benci, V.; Di Nasso, M.; Forti, M. (2007). "An euclidean measure of size for mathematical universes". ''Logique & Analyse'' 197: 43–62</ref><ref name="DiNasso_Forti_2010">Di Nasso, M; Forti, M. (2010). "Numerosities of point sets over the real line". ''Transactions of the American Mathematical Society'' 362:10, 5355–5371</ref><ref name="Benci4">Benci, V.; Di Nasso, M. (2019). "How to measure the infinite", World Scientific, Hackensack, NJ (la parte 5 del libro è interamente dedicata alla "Numerosity Theory")</ref>. Questo approccio utilizza strumenti di logica e analisi, cercando di dare un significato operativo alla nozione di “contare” anche quando si hanno insiemi infiniti. La numerosità si rivela così utile per lo studio di alcuni problemi di matematica discreta ed è oggetto di ricerche nell’ambito delle teorie alternative (o complementari) alla cardinalità cantoriana tradizionale.

== Principali assiomi ==

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== Applicazioni e ricerche in corso ==

La ricerca sulla numerosità è stata applicata o discussa in:

* Classificazioni alternative delle dimensioni degli insiemi in alcuni contesti discreti o combinatori.

* Esplorazione rigorosa delle proprietà simili alle misure, a cavallo tra la teoria delle misure e l'aritmetica cardinale.<ref name="Benci_Bottazzi_Di_Nasso_2015">Benci, V.; Bottazzi, E.; Di Nasso, M. (2015). "Some applications of numerosities in measure theory". ''Rend. Lincei Mat. Appl. 26:37-47</ref>

* Indagini sui [[fondamenti della matematica]], in particolare sulla natura dell'infinito.

* Probabilità e filosofia della scienza <ref name="Benci6">Benci, V.; Horsten L.; Wenmackers S. (2018). "Infinitesimal Probabilities". ''The British Journal for the Philosophy of Science 69:2 509–552</ref>

Nonostante sia relativamente di nicchia, la teoria continua a essere studiata ed estesa da un piccolo gruppo di matematici interessati a questioni fondazionali o a creare un ponte tra intuizioni finite e contesti infiniti.