Integrale: differenze tra le versioni

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Si assume che l'area abbia valore negativo quando <math>f(x)</math> è negativa.]]

In [[analisi matematica]], l{{'}}'''integrale''' è un [[Trasformazione lineare|operatore lineare]] che, nel caso di una [[Funzione (matematica)|funzione]] di una sola variabile a valori reali non negativi, associa alla [[Funzione L|funzione l]]'[[area]] sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo <math>[a,b]</math> nel dominio. Se la funzione assume anche valori negativi, allora l'integrale può essere interpretato geometricamente come l'area ''orientata'' sottesa dal grafico della funzione.

Sia <math>f</math> una funzione continua di una variabile a valori reali e sia <math>a</math> un elemento nel dominio di <math>f,</math> allora dal [[teorema fondamentale del calcolo integrale]] segue che l'integrale da <math>a</math> a <math>x</math> di <math>f</math> è una [[primitiva (matematica)|primitiva]] di <math>f</math>.

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dove <math>\chi_{A_k}(x)</math> è la [[funzione indicatrice]] relativa all'insieme <math>A_i</math> per ogni <math>i.</math>

L'integrale di Lebesgue di una [[funzione semplice]] è definito nel seguente modo:

:<math>\int_F s \, \mathrm d \mu = \sum_{i=1}^n a_i \mu (A_i \cap F), \quad F \in X.</math>

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Il teorema di Vitali-Lebesgue è un teorema che consente di individuare le funzioni definite su uno spazio <math> \R^n </math> che siano [[integrale di Riemann|integrabili secondo Riemann]]. Fu dimostrato nel 1907 dal matematico italiano [[Giuseppe Vitali (matematico)|Giuseppe Vitali]] contemporaneamente e indipendentemente con il matematico francese [[Henri Lebesgue]].

Data una funzione su <math>\R^n </math> che sia [[funzione limitata|limitata]] e nulla al di fuori di un [[insieme limitato|sottoinsieme limitato]] di <math>\R^n</math>, essa è integrabile secondo Riemann [[se e solo se]] è trascurabile l'insieme dei suoi [[funzione continua|punti di discontinuità]]. Se si verifica questo, la funzione è anche [[Integrale di Lebesgue|integrabile secondo Lebesgue]] e i due integrali coincidono. Nel caso in cui <math>n=1</math> l'enunciato assume la seguente forma: una funzione <math>f</math> limitata in un intervallo <math>[a, b]</math> è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è di [[misura (matematica)|misura]] nulla rispetto alla [[misura di Lebesgue]].<ref>{{Cita web |url=http://sole.dimi.uniud.it/~gianluca.gorni/Dispense/VitaliLebesgue.pdf |titolo=Gianluca Gorni - Il teorema di Vitali-Lebesgue |accesso=9 agosto 2014 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20140810003543/http://sole.dimi.uniud.it/~gianluca.gorni/Dispense/VitaliLebesgue.pdf |dataarchivio=10 agosto 2014 |urlmorto=sì }}</ref>

== Calcolo differenziale e calcolo integrale ==