Utente:Cicognac/Sandbox/9: differenze tra le versioni

Versione delle 09:47, 16 lug 2025

Versione delle 10:55, 16 lug 2025

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A questo, si aggiunge un paper che tenta di delucidare meglio la logica dietro alla IUT, ''On the Essential Logical Structure of Inter-Universal Teichmüller Theory in Terms of Logical'' AND "∧"''/Logical'' OR "∨" ''Relations: Report on the Occasion of the Publication of the Four Mian Papers on Inter-Universal Teichmüller Theory''.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|anno=2024|mese=marzo|titolo=On the Essential Logical Structure of Inter-Universal Teichmüller Theory in Terms of Logical "∧"/Logical OR "∨" Relations: Report on the Occasion of the Publication of the Four Mian Papers on Inter-Universal Teichmüller Theory|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf|formato=pdf}}</ref>

Nel web, è stata diffusa una breve animazione di poco oltre un minuto sul funzionamento della IUT (rappresentazione multi-radiale) creata da Etienne Farcot sulla base delle indicazioni di Mochizuki e Ivan Fesenko;<ref name=":5">{{Cita pubblicazione|cognome=Trond Arild Tjøstheim|data=2018-12-22|titolo=The multi-radial representation of inter-universal Teichmüller theory|lingua=en|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=LggSZ1wIjeg}}</ref> una spiegazione di tale animazione è offerta da Fesenko in una lezione registrata al minuto 33:49.<ref name=":6">{{Cita pubblicazione|cognome=Institute of Mathematics / Інститут Математики|data=2022-02-20|titolo=Ivan Fesenko "Underlying deep properties of numbers"|lingua=en|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=OQG0OeQla1w}}</ref> Un'altra spiegazione è offerta da Fumiharu Kato in una sua lezione registrata all'ora 1:16:16.<ref name=":7">{{Cita pubblicazione|cognome=Radnfo|data=2018-03-14|titolo=Inter-universal Teichmüller theory via Fumiharu Kato w/English subtitles [PROPER]|lingua=ja|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=kq4jbNl4lJk}}</ref> Un'immagine che descrive anch'essa il funzionamento della IUT è stata diffusa in occasione del summit del 2025 sulla IUT.<ref name=":8">{{Cita web|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT_Summit_2025/assets/images/IUT-core_link.png|titolo=Funzionamento della IUT (file PNG, 2025)|data=2025}}</ref>

Nel luglio 2016, Yuichiro Hoshi ha pubblicato 3 gruppi di slide per spiegare i paper III e IV della IUT dal punto di vista del trasporto mono-abeliano.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Yuichiro Hoshi|data=22 luglio 2016|titolo=[IUTch-III-IV] from the Point of View of Mono-anabelian Transport I: Log-theta-lattices|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20160722_1.pdf|formato=pdf}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Yuichiro Hoshi|data=22 luglio 2016|titolo=[IUTch-III-IV] from the Point of View of Mono-anabelian Transport II: Number Fields|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20160722_2.pdf|formato=pdf}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Yuichiro Hoshi|data=22 luglio 2016|titolo=[IUTch-III-IV] from the Point of View of Mono-anabelian Transport III: Theta Values|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20160722_3.pdf|formato=pdf}}</ref> In modo analogo, Ivan Fesenko ha pubblicato 98 slide di una talk di un'ora e mezza sulla IUT<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Ivan Fesenko|titolo=On the IUT theory of Shinichi Mochizuki|lingua=en|url=https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/10/jltr.pdf|formato=pdf}}</ref> oltre a un breve saggio critico chiamato "Fukugen" del 2016.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Ivan Fesenko|data=7 novembre 2016|titolo=Fukugen: On Shinichi Mochizuki’s Inter-universal Teichmüller Theory|lingua=en|url=https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/fnin.pdf|formato=pdf}}</ref> Anche Fucheng Tan ha pubblicato delle slide che introducono la IUT e dei consigli su come leggere i paper di Mochizuki.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Fucheng Tan|anno=2018|titolo=Introduction to Inter-universal Teichmuller theory|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Tan%20---%20Introduction%20to%20inter-universal%20Teichmuller%20theory%20(slides).pdf}}</ref> Altri brevi paper di approfondimento e usati in alcune lezioni e talk sono stati prodotti da Mochizuki.<ref name=":9">{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=2025|mese=marzo|titolo=INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY AS AN ANABELIAN GATEWAY TO DIOPHANTINE GEOMETRY AND ANALYTIC NUMBER THEORY (IUT SUMMIT 2025 VERSION)|città=Kyoto|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT%20as%20an%20Anabelian%20Gateway%20(IUT%20Summit%202025%20version).pdf|formato=pdf}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=2020|mese=novembre|titolo=CLASSICAL ROOTS OF INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/2020-11%20Classical%20roots%20of%20IUT.pdf|formato=pdf}}</ref> nel 2018, Go Yamashita ha pubblicato un condensato di 400 pagine sulle basi di geometria mono-anabeliana assoluta insieme alle basi della IUT e alla dimostrazione della congettura abc.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Go Yamashita|anno=2018|titolo=A PROOF OF THE ABC CONJECTURE AFTER MOCHIZUKI|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/abc2024Jun25.pdf|formato=pdf}}</ref>

Nell'aprile 2020, Taylor Dupuy ha pubblicato un paper che discute le applicazioni della IUT per ricavare tre varianti della disuaglianza di Szpiro, dette "Probabilistic Szpiro", "Baby Szpiro" e "Explicit Szpiro".<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Taylor|cognome=Dupuy|nome2=Anton|cognome2=Hilado|data=2020-04-29|titolo=Probabilistic Szpiro, Baby Szpiro, and Explicit Szpiro from Mochizuki's Corollary 3.12|lingua=en|accesso=2025-07-15|doi=10.48550/arXiv.2004.13108|url=http://arxiv.org/abs/2004.13108}}</ref>

Nel paper ''Inter-universal Teichmüller Theory as an Anabelian Gateway to Diophantine Geometry and Analytic Number Theory'',<ref name=":3">{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|anno=2023|titolo=Inter-universal Teichmüller Theory as an Anabelian Gateway to Diophantine Geometry and Analytic Number Theory|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT%20as%20an%20Anabelian%20Gateway%20(MFO-RIMS23%20Oberwolfach%20Report).pdf|formato=pdf}}</ref> pubblicato dopo un workshop del RIMS svolto insieme all'Istituto di ricerca matematica di Oberwolfach (''Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach,'' MFO), Mochizuki ha delineato una futura linea di ricerca, focalizzata sull'applicazione della IUT alla geometria mono-anabeliana assoluta per trovare altri risultati in geometria diofantea. Un'altra linea di ricerca consiste nella semplificazione della versione della IUT pubblicata nel 2012; in totale, attraverso nuovi risultati che riguardano la congettura della sezione anabeliana (''Anabelian Section Conjecture'') in geometria anabeliana di Grothendieck combinata con dei nuovi risultati in geometria anabeliana applicata agli anelli di valutazione (''valuation rings'') discreti completi con campi residui perfetti , sono in fase di sviluppo 3 nuove versioni della IUT. In particolare, il paper cita una di queste 3 versioni, la ''Galois-orbit version of IUT'' (''GalOrbIUT''),<ref name=":3" /> la "versione orbita-Galois della IUT"; tale versione, oltre ad avere applicazioni sulla congettura della sezione anabeliana per curve iperboliche su campi numerici, ha applicazioni anche sulla non-esistenza degli zeri di Seigel di alcuni L-funzioni di Dirichlet.<ref name=":9" /> Il paper infine aggiunge come la teoria della risoluzione delle non-singolarità (Resolution of Non-Singularities, RNS) funzioni come una sorta di analogo p-adico locale della IUT in base all'analogia "Norm(−) = (−)" ↔ "N·(−) ≈ (−)".

== Breve presentazione ==

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I nessi tra IUT e fisica quantistica sono discussi in dettaglio da Ivan Fesenko in un suo paper del luglio 2025, ''On new interactions between quantum theories and arithmetic geometry.''<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Ivan Fesenko|anno=2025|mese=luglio|titolo=On new interactions between quantum theories and arithmetic geometry|lingua=en|url=https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/qar.pdf|formato=pdf}}</ref>

Secondo una lezione per il grande pubblico di Fumiharu Kato del 2018, la IUT lavora con l'addizione e moltiplicazione allo stesso modo in cui la congettura abc lavora contemporaneamente con l'addizione e moltiplicazione all'interno del nucleo del suo enunciato. La IUT propone inoltre di lavorare in "teatri" o "universi" o "mondi" o "ambienti" multipli/diversi/paralleli della matematica (da cui il nome "inter-universale") e lavora individualmente con l'addizione e moltiplicazione per poi combinarli espandendo e contraendo la moltiplicazione. In diversi teatri/universi, si effettua una copia della moltiplicazione con un'operazione detta "distacco di Kummer multiradiale" (''multiradial Kummer-detachment'') che fa uso della "corrispondenza di Kummer logaritmica" (''log-Kummer correspondence''), il tutto per applicarviapplicare alla copia una contrazione o deformazione, lasciando però intatta l'addizione, per poi fonderle/incollarle insieme (''glueing''). Il lavoro in universi multipli non appartiene alla matematica tradizionale praticata sia a scuola che nella ricerca scientifica; in essa, si lavora in un singolo universo/mondo/ambiente/teatro. Il trasporto (dopo il distacco) di dati da un teatro/universo all'altro (da un teatro originario a un teatro ricevente), siccome si copia la simmetria dell'oggetto e non l'oggetto stesso, provoca delle indeterminatezze o "distorsioni" (perdite di dati); se infatti si effettua una copia della moltiplicazione in due teatri/universi diversi, in quanto appartengono a due teatri/universi diversi, non ha senso porle in un'equazione e/o riportarle entrambe in un singolo teatro/universo: l'equazione è senza significato. I teatri/universi comunicano tra loro con la simmetria e ricostruzione. La simmetria (una proprietà degli oggetti o l'applicazione di un'azione che non li varia) permette di ricostruire un oggetto in modo perfetto o quasi; più la simmetria è complessa (questa complessità si misura attraverso i gruppi di simmetrie), più è possibile ricostruire l'oggetto originale con accuratezza (il cerchio è il massimo esempio di oggetto ricostruibile alla perfezione), mentre negli altri casi sorgono indeterminatezze/distorsioni. Le indeterminatezze/distorsioni sono quantificate; la quantificazione della magnitudine delle indeterminatezze porta alla formulazione di disequazioni che a loro volta sono utilizzabili per dimostrare congetture irrisolte come la congettura abc. La stessa geometria anabeliana usa i gruppi di Galois e i gruppi fondamentali per ricostruire oggetti e tali gruppi sono detti "anabeliani" in quanto non sono abeliani, dunque sono sufficientemente complessi da riuscire in questo scopo. All'interno della IUT viene fatto uso della funzione theta ("Θ" con doppia sottolineatura), una funzione piena di proprietà simmetriche (a loro volta correlate alle proprietà simmetriche delle curve ellittiche); tali simmetrie sono trasportabili da un teatro/universo all'altro e la stessa funzione theta si può infine ricostruire, producendo indeterminatezze che sono quantificabili e piccole. Riguardo alla congettura abc, per dimostrarla con la IUT è in più necessario ricostruire anche i campi numerici (oltre all'oggetto di partenza) con un ulteriore calcolo svolto contemporaneamente. Per ricostruire entrambi, si svolgono due calcoli contemporaneamente su infinite coppie di simmetrie (una additiva e l'altra moltiplicativa) sincronizzate tra loro sia in posti archimedei (''Archimedean places'') che in posti non-archimedei (''non-Archimedean places''); il calcolo fa uso di una funzione apposita per ricostruire i campi numerici, la funzione K.<ref name=":7" /> La quantificazione delle indeterminatezze che agiscono sui gusci logaritmici per estrapolare delle disequazioni sono effettuate attraverso una comparazione che fa uso dei gusci olomorfi (''holomorfic hulls''), delle corrispondenze di Kummer logaritmiche (''log-Kummer correspondences'') e del volume logaritmico (''log-volume'').<ref name=":8" />

La IUT lavora con le deformazioni della moltiplicazione; tali deformazioni non sono compatibili con la struttura ad anello. Un elemento fondamentale della IUT è i teatri di Hodge (Hodge Theater), che sono dei sistemi di categorie associati a una curva ellittica su un campo di numeri; i teatri di Hodge, tra di loro, hanno dei legami detti "theta-link" che codificano le deformazioni; i theta-link, secondo Kato, uniscono le moltiplicazioni usando diversi teatri/universi/mondi/ambienti. Ai due estremi dei theta link si trovano l'oggetto ''q''-pilota (''q''-pilot object) e l'oggetto theta-pilota (Θ-pilot object). Le strutture ad anello non passano attraverso i theta-link, ma Galois e i gruppi fondamentali (gruppi di simmetrie di anelli) vi passano, per cui per ripristinare gli anelli da tali gruppi si utilizza la geometria mono-anabeliana. Durante la deformazione, che avviene tramite l'applicazione di un algoritmo, vengono perse delle informazioni siccome alcuni diagrammi sono non-commutativi. La misurazione di questa perdita di informazioni durante le deformazioni avviene attraverso gruppi di simmetrie che non perdono informazioni; la misurazione infine produce limiti/estremi (bounds) che infine portano alle soluzioni di problemi di teoria dei numeri.<ref name=":6" />

Riguardo all'animazione sul funzionamento della IUT (rappresentazione multi-radiale),<ref name=":5" /> Fesenko indica che a sinistra (dove c'è scritto "gruppi teta, cuspidalizzazione ellittica") è rappresentata la simmetria additiva e la funzione theta, mentre a destra (dove c'è scritto "tripodi, cuspidalizzazione di Belyi") è rappresentata la simmetria moltiplicativa. Kato in più (ora 1:16:16) indica che il distacco di Kummer multiradiale agisce sia sulla funzione theta (visibile a sinistra) che sulla funzione K (visibile a destra), per cui le simmetrie sono distaccate e, nell'animazione, viaggiano verso l'alto. Dopodiché, i campi discendono verso i gusci logaritmici (''log-shell'') rappresentati come delle sfere;<ref name=":7" /> essi sono gli oggetti sul quale agiscono le indeterminazioni.<ref name=":6" /> Tutti i calcoli sono sincronizzati in due teatri/universi.

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GUARDARE: paper di Fesenko sulla fisica quantistica e sulla IUT (fukugen e le 98 slide), spiegazione dell'animazione di Kato, i 4 paper di Mochizuki.

=== ''IUTeich II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation'' ===