Fenomeno di Runge: differenze tra le versioni

Versione delle 14:18, 7 ott 2025

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== Problema ==

ConsideriamoSi consideri la [[Funzione_(matematica)|funzione]]:

:<math>f(x) = \frac{1}{1+25x^2}.</math>

Consideriamo la [[Funzione_(matematica)|funzione]]:

Runge trovò che interpolando questa [[Funzione_(matematica)|funzione]] in un insieme di punti <math>x_i</math> equidistanti nell'intervallo <math>\left[-1, 1 \right]</math>,

<math>f(x) = \frac{1}{1+25x^2}</math>

Runge trovò che interpolando questa [[Funzione_(matematica)|funzione]] in un insieme di punti <math>x_i</math> equidistanti nell'intervallo <math>\left[-1, 1 \right]</math>,

<!-- <math>x_i = \sum_{i=1}^{n+1} (-1+(i-1)\frac{2}{n})</math> -->

con un [[polinomio]] <math>P_n(x)</math> di grado al più <math>\leq n</math>, l'interpolazione risultante oscilla in [[ampiezza]] verso gli estremi dell'intervallo (in questo caso <math>-1</math> e <math>+1</math>).

È inoltre possibile provare che tale errore tende all'infinito all'aumentare del grado del polinomio:

:<math>\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \max_{x \in \left[-1,1\right]} \left| f(x) - P_n(x) \right| \right) = +\infty</math>

== Soluzione ==

Il controesempio di Runge mostra che non è conveniente usare polinomi di grado elevato su nodi equispaziati per interpolare una funzione. Per ottenere su funzioni di questo tipo uno schema di interpolazione il cui errore diminuisca all'aumentare del numero di nodi, si possono utilizzare i [[nodi di Čebyšëv]] anziché i punti equidistanti. Altre alternative sono l'uso dell'[[interpolazione spline]] o l'uso dell'interpolazione composita, suddividendo l'intervallo di interpolazione in più parti

Altre alternative sono l'uso dell'[[interpolazione spline]] o l'uso dell'interpolazione composita, suddividendo l'intervallo di interpolazione in più parti

e calcolando su ciascun sottointervallo un polinomio interpolante di grado non elevato (ad esempio grado 1 o 2).