Funzione identità: differenze tra le versioni

Versione delle 05:40, 8 apr 2008

Versione delle 23:25, 14 lug 2008

Riga 1:

In [[matematica]] si chiama '''funzione identità''' su un [[insieme]] ''<math>X''</math> unala [[funzione (matematica)|funzione]] che associa ad ogni elemento l'elemento stesso.

{{S|matematica}}

La funzione identità su ''<math>X''</math> si indica con id<submath>''X''id_X</submath> o con 1<submath>''X''1_X</submath>. Essa ha dunque ''<math>X''</math> come [[dominio]] e [[codominio]] ed è tale per cui per ogni ''<math>x''∈'' \in X''</math> si ha id<sub>''X''</submath>id_X(''x'') ='' x''</math>.

In [[matematica]] si chiama '''funzione identità''' su un [[insieme]] ''X'' una [[funzione (matematica)|funzione]] che associa ad ogni elemento l'elemento stesso.

==Proprietà==

La funzione identità su ''X'' si indica con id_''X'' o con 1_''X''. Essa ha dunque ''X'' come [[dominio]] e [[codominio]] ed è tale per cui per ogni ''x''∈''X'' si ha id_''X''(''x'')=''x''.

La funzione identità è la più semplice tra le funzioni definibili su un insieme, ed è inoltre compatibile con praticamente tutte le [[struttura (matematica)|strutture matematiche]] possedute dall'insieme; viene infatti utilizzata come prototipo per definire gli [[automorfismo|automorfismi]], ovvero le funzioni interne ad un insieme, che ne conservano le strutture. All'interno del [[automorfismo#Gruppo di automorfismi|gruppo degli automorfismi]] di una data struttura, l'identità costituisce inoltre l'[[elemento neutro]] rispetto alla [[composizione di funzioni|composizione]] di morfismi.

==Esempi==

A seconda delle strutture su cui è applicata, la funzione identità riveste quindi diverse caratteristiche:

* Se ''X'' è l'insieme '''R''' dei [[numeri reali]] è possibile rappresentare visivamente la funzione id_'''R''' con il suo [[grafico di una funzione|grafico]] sul [[piano cartesiano]] che corrisponde alla bisettrice degli assi ''y''=''x''.

* su un insieme è una [[corrispondenza biunivoca|biiezione]];

* Se ''X'' è uno spazio vettoriale di dimensione ''n'' la funzione id_''X'' è una [[trasformazione lineare]] rappresentata dalla [[matrice identità]] di ordine ''n''.

* su qualunque [[struttura algebrica]] è un [[isomorfismo]];

* su uno [[spazio vettoriale]] è una [[funzione lineare]];

* su uno [[spazio metrico]] è una [[isometria]];

* su uno [[spazio topologico]] è un [[omeomorfismo]];

* su una [[varietà differenziabile]] è un [[diffeomorfismo]].

==Rappresentazioni==

La funzione identità può venire rappresentata in modi diversi a seconda delle caratteristiche degli insiemi su cui è definita; ad esempio:

* Se ''X'' è lsull'insieme '''<math>\mathbb{R'''}</math> dei [[numero reale|numeri reali]] è possibile rappresentare visivamente la funzione id<submath>'''id_\mathbb{R'''}</submath> con il suo [[grafico di una funzione|grafico]] sul [[piano cartesiano]] che corrisponde alla [[bisettrice]] deglidel assiprimo ''y''=''x''.e terzo [[quadrante (geometria analitica)|quadrante]];

* Se ''X'' èsu uno spazio vettoriale di dimensione ''<math>n''</math> la funzione id_''X''identità è una [[trasformazione lineare]] rappresentata dalla [[matrice identità]] di ordine ''<math>n''</math>.

==Voci correlate==

*[[Immersione (matematica)#Inclusione|Inclusione canonica]]

* [[Teoria delle categorie]]

* [[Immersione (matematica)#Inclusione|Inclusione canonica]]

{{Funzioni speciali}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Matematica di base]]

[[Categoria:Funzioni matematiche]]