3-varietà irriducibile: differenze tra le versioni

Versione delle 16:51, 22 apr 2008

Versione delle 16:12, 26 mar 2011

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Una varietà irriducibile <math>M</math> è effettivamente prima. Infatti, se

:<math>M=N_1\#N_2, </math>

la <math>M</math> è ottenuta rimuovendo due palle da <math>N_1</math> e <math>N_2</math>, e quindi [[taglia e incolla in topologiaIncollamento|incollando]] le due sfere di bordo risultanti. Queste due sfere incollate formano una sfera <math>S</math> in <math>M</math>. Per ipotesi, deve bordare una palla. Ripercorrendo l'operazione di somma connessa a ritroso, <math>N_1</math> oppure <math>N_2</math> è ottenuta incollando due palle chiusa per il bordo. Questa operazione porta però soltanto ad <math>S^3</math>: quindi uno dei due fattori è in realtà banale, e la varietà <math>M</math> è prima.

=== Da prima a irriducibile ===

Sia <math>M</math> una varietà prima. Sia <math>S</math> una sfera in essa contenuta. [[taglia e incolla inTaglio (topologia)|Tagliando]] lungo <math>S</math> si può ottenere una sola varietà <math> N </math> oppure due varietà <math>M_1</math> e <math>M_2</math>. Nel secondo caso, [[taglia e incolla in topologiaIncollamento|incollando]] due palle chiuse nei due nuovi bordi sferici si ottengono due varietà <math>N_1</math> e <math>N_2</math> tali che

:<math>M = N_1\#N_2. </math>

Poiché <math>M</math> è prima, una delle due, ad esempio <math>N_1</math>, è <math>S^3</math>. Quindi <math>M_1</math> è <math>S^3</math> meno una palla: è quindi anch'esso una palla. La sfera <math>S</math> quindi borda una palla: la varietà <math>M</math> è quindi irriducibile.