Sistema input-output: differenze tra le versioni
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:<math>(3)\quad\begin{cases}a_{11}p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=p_1\\a_{12}p_1+a_{22}p_2+\dots+a_{n2}p_n=p_2\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+a_{nn}p_n=p_n\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>A^T\vec{p}=\vec{p}</math>
ovvero:
:<math>(4)\quad\begin{cases}(a_{11}-1)p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=0\\a_{12}p_1+(a_{22}-1)p_2+\dots+a_{n2}p_n=0\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+(a_{nn}-1)p_n=0\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>(A^T-I)\vec{p}=\vec{0}</math>
dove ''A<sup>T</sup>'' è la [[Matrice trasposta|trasposta]] della [[matrice quadrata]] (''a<sub>ij</sub>'') dei coefficienti tecnici di produzione e ''I'' è la [[matrice identità]].
L'ultimo è un [[Sistema di equazioni lineari#Sistema lineare omogeneo|sistema lineare omogeneo]], che ammette soluzioni non banali (diverse da ''p<sub>i</sub>''=0 per qualsiasi ''i'') e non negative se 1 è l'[[autovalore]] massimo di ''A<sup>T</sup>''. Si può dimostrare che tale condizione sussiste sempre e, pertanto, che il sistema (2) permette di trovare i prezzi che garantiscono la riproducibilità dell'economia.
Il modello chiuso, peraltro, è il modello di un'economia statica che riproduce costantemente se stessa, producendo e consumando sempre le stesse quantità.
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