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== Il modello rettangolare di Stone ==
{{vedi anche|Le tavole input-output nella contabilità nazionale}}
I modelli di Leontief, come si è visto, si basano su matrici quadrate, dette anche simmetriche perché sia le righe che le colonne si riferiscono allo stesso insieme di settori.
Negli anni '60 [[Richard Stone]], nell'ambito del suo lavoro sui sistemi di [[contabilità nazionale]], introdusse matrici rettangolari dedicate alle risorse (''supply'') ed ai relativi impieghi (''use''), che, oltre a fornire informazioni di rilevante interesse, consentivano di costruire poi una matrice simmetrica di tipo Leontief. Il metodo di Stone è stato recepito, tramite gli standard internazionali SNA 93<ref>Nazioni Unite, [http://unstats.un.org/unsd/sna1993/introduction.asp System of National Accounts 1993].</ref> e [[Sec95]]<ref>Il Sec95 richiede che i conti nazionali siano derivati da uno schema intersettoriale e che sia garantita completa coerenza fra gli aggregati della contabilità nazionale e le tavole delle risorse e degli impieghi. Cfr. ISTAT, [http://www.istat.it/dati/dataset/20061023_00/nota_metodologica.pdf Le tavole delle risorse e degli impieghi e la loro trasformazione in tavole simmetriche. Nota metodologica], ottobre 2006, pag. 2.</ref>, nella contabilità nazionale di molti paesi.
==Considerazioni==
=== Le tavole delle risorse ===
Sono intuibili le possibilità di impiegare questi modelli a fini di programmazione economica: essi consentono infatti di studiare gli effetti che modificazioni della composizione e del livello della domanda finale provocano sui livelli di produzione dei diversi settori e sull’occupazione a livello settoriale e complessivo, e di confrontare tali grandezze con la potenzialità produttiva del sistema economico.
Le tavole delle risorse mostrano la disponibilità di risorse, distinguendo tra produzione interna e importazioni.
Analisi di impatto, analisi dei moltiplicatori, individuazione di filiere di produzione e/o di settori verticalmente integrati dell’economia (regionale), costituiscono alcuni dei più fecondi sviluppi della concezione della tavola come modello economico.
Si tratta di matrici rettangolari composte da:
* una ''matrice della produzione'', quadrata, con righe intestate ai prodotti e colonne intestate alle branche di attività economica; la matrice tiene conto del fatto che ciascuna branca può produrre, oltre al suo prodotto caratteristico, anche prodotti tipici di altre branche:<ref>Si tratta di un aspetto di cui è difficile tenere conto nei modelli di Leontief.</ref> lungo la diagonale principale si leggono le produzioni tipiche di ciascuna branca, nelle altre caselle vi sono le cosiddette ''produzioni secondarie'', ovvero i beni e servizi prodotti collateralmente a quelli tipici (ad esempio, il servizio di agriturismo offerto da un'azienda agricola);
* una ''matrice delle importazioni'', che contiene le importazioni [[Cost, Insurance and Freight|CIF]];
* una ''matrice di valutazione'', che comprende le imposte nette sui prodotti ed i margini di trasporto che, aggiunti ai [[Prezzo base|prezzi base]], consentono di passare ai prezzi di acquisto.
Nell’analisi di impatto, questo modello si presta ad essere utilizzato per valutare l’effetto prodotto da manovre di [[politica economica]] che operano facendo variare direttamente le componenti della domanda finale (un programma di investimenti pubblici, per esempio) o per effettuare esercizi di simulazione a scopo previsivo (ad esempio valutazione degli effetti prodotti sul sistema da variazioni sui mercati di esportazione causate da variazioni del [[tasso di cambio]] o dall’incremento/decremento delle presenze turistiche).
Raccogliendo branche e prodotti in tre aggregati, la tavola delle risorse a prezzi base si presenta così:<ref>Questa tabella e le successive sono adattate da: ISTAT, [http://www.istat.it/dati/dataset/20061023_00/nota_metodologica.pdf Le tavole delle risorse e degli impieghi e la loro trasformazione in tavole simmetriche. Nota metodologica].</ref>
{| border="0" align="center" style="border-bottom:2px solid black; text-align:right"
|+ style="border-bottom:2px solid black; text-align:left; font-size:smaller" | Tabella 3. ''Tavola delle risorse a prezzi base - anno 2000 (milioni di euro)''.
|
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" colspan=4 | Produzione ai prezzi base per branca
! style="text-align:center; vertical-align:bottom" | Importazioni
! style="text-align:center; vertical-align:bottom" | Risorse totali
|-
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:left" | Prodotti
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" | Agricoltura
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" | Industria
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" | Servizi
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" | Totale
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center; vertical-align:top" | CIF
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center; vertical-align:top" | a prezzi base
|-
! style="text-align:left" | Agricoltura
| 46.459 || 0 || 674 || 47.133 || 9.257 || 56.390
|-
! style="text-align:left" | Industria
| 636 || 950.206 || 39.280 || 990.122 || 250.474 || 1.240.596
|-
! style="text-align:left" | Servizi
| 391 || 43.292 || 1.233.549 || 1.277.232 || 40.804 || 1.318.036
|-
! style="text-align:left" | Totale
| style="border-top:1px solid black" | 47.485
| style="border-top:1px solid black" | 993.498
| style="border-top:1px solid black" | 1.273.504
| style="border-top:1px solid black" | 2.314.487
| style="border-top:1px solid black" | 300.535
| style="border-top:1px solid black" | 2.615.022
|}
Aggiungengo la matrice di valutazione si ottiene la tavola a prezzi d'acquisto:
{| border="0" align="center" style="border-bottom:2px solid black; text-align:right"
|+ style="border-bottom:2px solid black; text-align:left; font-size:smaller" | Tabella 4. ''Tavola delle risorse a prezzi d'acquisto - anno 2000 (milioni di euro)''.
|
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" colspan=4 | Produzione ai prezzi base per branca
! style="text-align:center; vertical-align:bottom" | Import.ni
! style="text-align:center; vertical-align:bottom" | Risorse totali
! style="text-align:center; vertical-align:bottom" | Margini e
! style="text-align:center; vertical-align:bottom" | Risorse totali a
|-
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:left" | Prodotti
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" | Agricoltura
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" | Industria
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" | Servizi
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center" | Totale
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center; vertical-align:top" | CIF
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center; vertical-align:top" | a prezzi base
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center; vertical-align:top" | imp. nette
! style="border-bottom:1px solid black;text-align:center; vertical-align:top" | p. d'acquisto
|-
! style="text-align:left" | Agricoltura
| 46.459 || 0 || 674 || 47.133 || 9.257 || 56.390 || 23.336 || 79.727
|-
! style="text-align:left" | Industria
| 636 || 950.206 || 39.280 || 990.122 || 250.474 || 1.240.596 || 324.363 || 1.564.959
|-
! style="text-align:left" | Servizi
| 391 || 43.292 || 1.233.549 || 1.277.232 || 40.804 || 1.318.036 || -220.679 || 1.097.356
|-
! style="text-align:left" | Totale
| style="border-top:1px solid black" | 47.485
| style="border-top:1px solid black" | 993.498
| style="border-top:1px solid black" | 1.273.504
| style="border-top:1px solid black" | 2.314.487
| style="border-top:1px solid black" | 300.535
| style="border-top:1px solid black" | 2.615.022
| style="border-top:1px solid black" | 127.020
| style="border-top:1px solid black" | 2.742.042
|}
=== Le tavole degli impieghi ===
Le tavole degli impieghi mostrano gli impieghi dei beni e servizi per prodotto e per tipo di impiego, distinguendo tra impieghi intermedi e impieghi finali.
La matrice dei flussi fisici intersettoriali può essere trasformata nella tavola delle transazioni, nella quale si individuano:
<ul>
<li>una matrice quadrata ''X'' di dimensione n×n dei flussi intermedi: il generico elemento ''x<sub>ij</sub>'' rappresenta il valore del flusso di beni e servizi che il settore ''j'' acquista presso il settore ''i''
<li>un vettore colonna ''f'' della domanda finale: il generico elemento ''f<sub>i</sub>'' rappresenta il valore della domanda finale del bene prodotto dal settore ''i''
<li>un vettore riga ''v'' del [[valore aggiunto]]: il generico elemento ''v<sub>j</sub>'' costituisce il residuo tra la il valore della produzione del settore ''j'' e gli impieghi per l’acquisto dei beni intermedi ad esso necessari. Rappresenta quindi il plusvalore generato dalla produzione del settore ''j'' ed è formato tipicamente dalla somma dei salari e dei profitti
</ul>
inoltre, il passaggio da ''Q'' a ''X'' consente in generale di ridurre il numero di settori considerati, aggregando insieme due o più settori, consentendo quindi di esaminare l’economia ad un preciso (e desiderato) livello di disaggregazione.
<center>
<table height="50" width="50" border="2">
<tr><td>''X''</td><td>''f''</td></tr>
<tr><td>''v''</td></tr>
</table>
</center>
La matrice ''X'' e i vettori ''v'' e ''f'' rispettano le seguenti identità contabili:
<br><br>
(4) <math>x_i = \sum_{j} x_{ij} + f_i\,</math>
<br><br>
(5) <math>x_j = \sum_{i} x_{ij} + v_j\,</math>
<br><br>
La (4) è un’equazione di domanda, simile alla (1): il valore della produzione ''x<sub>i</sub>'' di un dato settore viene destinata per soddisfare la domanda intermedia (indicati dagli elementi della riga ''i'' della matrice ''X'') e la domanda finale ''f'' (in valore).
La (5) è un’equazione dei costi, costruita sommando le colonne della il valore della produzione ''x<sub>j</sub>'' del settore ''j'' è dato dalla somma del costo dei fattori (indicati dagli elementi della colonna ''j'' della matrice ''X'') più il valore aggiunto ''v<sub>j</sub>'' determinato in modo residuale.
Dalle (4) e (5) segue una relazione contabile fondamentale che lega il valore complessivo della produzione destinata alla domanda finale al valore aggiunto complessivamente realizzato nel sistema economico:
<br><br>
(6) <math>\sum_{i} f_i = \sum_{j} v_j\,</math>
<br><br>
La (6) indica per l’appunto l’identità che esiste tra prodotto nazionale ([[PIL]]) e valore aggiunto complessivo (reddito nazionale).
Per quanto riguarda la parte interindustriale della tavola dei flussi fisici, normalizzando la matrice ''Q'' rispetto alla produzione del singolo settore ''q<sub>j</sub>'' si rende la tavola indipendente dal livello di produzione ottenendo una matrice ''A'' di coefficienti tecnici di produzione e un vettore ''l'' di coefficienti di lavoro:
<br><br>
(7) <math>a_{ij} = \frac{q_{ij}}{q_j}</math>
<br><br>
(8) <math>l_j = \frac{L_j}{q_j}</math>
<br><br>
Il generico elemento ''a<sub>ij</sub>'' misura la quantità della merce ''i'' impiegata per la produzione di un’unità di merce ''j'' ossia la composizione dei mezzi di produzione e del lavoro che consente al settore ''j'' di realizzare la propria produzione. La loro grandezza è determinata principalmente da fattori di ordine tecnologico, in quanto in un reale [[sistema economico]] essi mutano lentamente mostrando di risentire relativamente poco delle variazioni nei livelli di produzione settoriale e di rispondere in maniera graduale al manifestarsi del progresso tecnico. La matrice dei coefficienti tecnici [''a<sub>ij</sub>''] e il vettore dei coefficienti del lavoro ''l<sub>j</sub>'' esprimono la struttura tecnologica del sistema economico ossia la regola specifica di combinazione dei mezzi di produzione nei diversi settori dell’economia.
===Determinazione di prodotto e lavoro===
Raccogliendo ''q<sub>j</sub>'' nella (1) è possibile scrivere il c.d. modello aperto di Leontief e di risolverlo rispetto a ''q'' in funzione del livello della domanda finale ''y'' interpretando così la tavola input-output come modello di [[equilibrio economico generale]], sia pure molto semplificato:
<br><br>
(1.a) <math>q_i = \sum_{j} a_{ij} q_i + y_i\,</math>
<br><br>
(1.b) <math>q = Aq + y\,</math>
<br><br>
dove ''q'' è il vettore colonna delle produzioni ''q<sub>i</sub>''
<br><br>
(1.c) <math>q = (I-A)^{-1}y = By\,\!</math>
<br><br>
(1.d) <math>q_i = \sum_{j} b_{ij} y_i\,</math>
<br><br>
La matrice risolvente ''B'' viene detta ''matrice dei requisiti diretti e indiretti'', nel senso che il generico coefficiente ''b<sub>ij</sub>'' indica la quota di produzione di bene ''j'' che deve essere impiegata nella produzione del bene ''i'' affinché sia resa disponibile alla domanda finale un’unità di bene ''j''. Per come è stata definita la matrice ''A'' esiste sempre l'inversa di ''(I-A)''.
Una volta determinato il livello della produzione ''q'', l’occupazione complessiva ''L'' si determina tramite i coefficienti di lavoro ''l<sub>i</sub>'' infatti:
<br><br>
(2.a) <math>L = \sum_{j} l_j q_j\,\!</math>
<br><br>
===Determinazione dei prezzi===
In maniera del tutto analoga alla relazione che è stata individuata tra domanda finale e produzione complessiva dei diversi settori, è possibile mettere in relazione il valore aggiunto e il prezzo delle merci di ciascun settore produttivo: Da ciascuna delle colonne della tavola delle transazioni risulta infatti che il valore della produzione eguaglia la somma del costo degli impieghi intermedi e del valore aggiunto, cioè
<br><br>
(9) <math>p_j = \sum_{i} a_{ij}p_i + u_j\,</math>
<br><br>
(9.a) <math>p = A'p + u\,\!</math>
<br><br>
dove il vettore ''u'' rappresenta il [[valore aggiunto]] per unità di prodotto (anziché il valore aggiunto complessivo). Risolvendo il sistema rispetto ai prezzi otteniamo
<br><br>
(9.b) <math>p = B'u\,\!</math>
<br><br>
(9.c) <math>p_j = \sum_{i} b_{ij} u_i\,</math>
<br><br>
Noti dunque i coefficienti tecnici di produzione e il valore aggiunto settoriale per unità di prodotto, è possibile determinare i prezzi dei beni.
<br><br>
===Considerazioni===
Sono intuibili le possibilità di impiegare questo modello a fini di programmazione economica: esso consente infatti di studiare gli effetti che modificazioni della composizione e del livello della domanda finale provocano sui livelli di produzione dei diversi settori e sull’occupazione a livello settoriale e complessivo, e di confrontare tali grandezze con la potenzialità produttiva del sistema economico.
<br>
Analisi di impatto, analisi dei moltiplicatori, individuazione di filiere di produzione e/o di settori verticalmente integrati dell’economia (regionale), costituiscono alcuni dei più fecondi sviluppi della concezione della tavola come modello economico.
<br>
Nell’analisi di impatto, questo modello si presta ad essere utilizzato per valutare l’effetto prodotto da manovre di [[politica economica]] che operano facendo variare direttamente le componenti della domanda finale (un programma di investimenti pubblici, per esempio) o per effettuare esercizi di simulazione a scopo previsivo (ad esempio valutazione degli effetti prodotti sul sistema da variazioni sui mercati di esportazione causate da variazioni del [[tasso di cambio]] o dall’incremento/decremento delle presenze turistiche).
<br>
In genere, però, il modello input-output è suscettibile di essere impiegato ogniqualvolta sia possibile ricondurre le variabili causali in effetti di variazione di una o più delle componenti finali in modo da rendere operante il meccanismo di funzionamento “da domanda finale a produzione” proprio dello schema logico input-output.
* [[Input]]
* [[Output]]
* [[Le tavole input-output nella contabilità nazionale]]
[[Categoria:Economia politica]]
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