Controllo sliding mode: differenze tra le versioni

Versione delle 18:41, 7 ott 2008

Versione delle 13:58, 10 nov 2008

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Con il termine '''Slidingcontrollo Modesliding mode''' (o '''sliding mode''' o '''Slidingsliding Modemode Controlcontrol''') si fa riferimento ad un [[controllore]] a struttura variabile in retroazione di stato, che modifica il comportamento di un sistema non lineare forzandolo con un segnale di controllo in alta frequenza.

== Idea di base ==

Il controllo '''Slidingsliding Mode'mode'' nasce per essere robusto e versatile, per questo motivo viene spesso appellatoindicato come "controllo universale". L'idea alla base di questo tipo di controllore è semplice,: si controlla il sistema in modo che raggiunga una superficie detta di ''sliding'', che rappresenta il riferimento del sistema di controllo.

Per ottenere ciò, il sistema viene forzato con un segnale di controllo discontinuo, che spingerà le traiettorie del sistema in direzione della superficie di ''sliding'', le traiettorie del sistema oscilleranno intorno alla superficie stessa (''chattering'') e l'ampiezza delle oscillazioni è tanto più piccola quanto maggiore è la frequenza del segnale di controllo.

La sintesi di un sistema di controllo che applica direttamente un'azione di tipo discontinuo apre nuovi orizzonti per il controllo di attuatori di tipo on-off che tipicamente sono controllati in [[PWM]].

attuatori di tipo ON/OFF che tipicamente sono controllati in [[PWM]].

== Schema di controllo ==

La progettazione dello schema di controllo può essere sintetizzata in due passi:

# Si sceglie una [[superficie]] (detta superficie di ''sliding'') sulla quale le traiettorie del sistema dovranno convergere, dunque il comportamento del sistema in retroazione dipenderà dalla scelta della superficie di ''sliding''.

# Si sceglie una legge di controllo in funzione della superficie di ''sliding,''; questa presenta sempre un termine discontinuo e può presentare anche termini continui.

Consideriamo il sistema non lineare descritto da: <br>

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Per garantire l'esistenza e l'unicità della soluzione è necessario supporre che le funzioni f(.,.) and B(.,.) siano [[continue]] e [[differenziabili]].

Consideriamo la superficie di ''sliding'' di dimensione (n-m) <br>

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"

|-

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== Fondamenti teorici ==

I teoremi riportati in seguito sono alla base del controllo '''Slidingsliding Modemode''' e permettono di dimostrare la stabilità del sistema di controllo e valutare il comportamento sulla superficie di ''sliding''.

=== TeoremaPrimo 1teorema: Stabilitàstabilità ===

Si consideri la [[funzione di Lyapunov]]

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| align="right" | <math>(A3)\,</math>

|}

Per il sistema descritto dalle (A1), e la superficie di ''sliding'' descritta dalle (A2), una condizione sufficiente perché il sistema sia stabile è la seguente:

:<math> \frac{dV(\sigma)}{dt}=\sigma^T\dot{\sigma}\;<0 </math>

in un [[intorno]] di &sigma;=0.

La stabilità è riferita alla superficie di ''sliding'', che rappresenta anche il riferimento per il sistema, dunque questo teorema permette di valutare se il sistema può raggiungere e permanere sulla superficie.

=== TeoremaSecondo 2teorema: Regioneregione di attrattività ===

Per il sistema descritto dalle (A1), e la superficie di ''sliding'' descritta dalle (A2), l'intorno di &sigma;=0 per il quale il sistema risulta stabile è dato da:

:<math> \sigma\;=\;\{x:\sigma^T(x)\dot{\sigma}(x)\;<0\;\forall t\}</math>

=== TeoremaTerzo 3teorema: Dinamicadinamica sulla superficie di ''sliding'' ===

Se la matrice :<math> \frac{\partial\sigma}{\partial{x}}B </math> non è singolare<ref>Ovvero se il [[determinante]] della matrice non è nullo.</ref>, quando il sistema è su <math> \sigma = 0 </math> la dinamica sulla superficie di ''sliding'' può essere ottenuta sostituendo nelle (A1) il controllo <math>u </math> (che verrà detto '''controllo equivalente''')che garantisce <math> \dot\sigma=0 </math>.

Si può dimostrare che la dinamica sulla superficie di ''sliding'' è indipendente dal [[campo vettoriale]] del sistema e da disturbi agenti sul sistema,; questo aspetto rende lo schema di controllo [[controllo robusto|robusto]] e sostanzialmente universale.

== Progettazione della legge di controllo ==

Consideriamo un sistema SISO<ref>Per sistema SISO si intende un sistema con una singola entrata (''in'') e una singola uscita (''out'').</ref>. Definiamo la superficie di ''sliding'' come:

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"

|-

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| align="right" | <math>(A5)\,</math>

|}

A questo punto è necessario scegliere un ingresso di controllo che garantisca la condizione di stabilità (Teoremaper 2),il unasecondo teorema).
Una possibile scelta dell'ingresso di controllo è la seguente:

:<math>u(x,t)=\left\{\begin{matrix} u^+(x), & \mbox{for}\;\sigma\;>0 \\ u^-(x),& \mbox{for}\;\sigma\;<0\end{matrix}\right.</math>

==Note==

<references/>

== Bibliografia==

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{{Portale|Ingegneria}}

[[Categoria:Ingegneria dell'automazione]]